Standardaufgabe aus https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3…
Lösungsweg
- Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare naturliche Zahl?
Der Induktionsanfang ist für n=1 zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:
k=1∑1k2=12=1
Die rechte Seite der Formel ergibt:
61⋅(1+1)⋅(2⋅1+1)=61⋅2⋅3=66=1
- Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?
Induktionsvoraussetzung:
k=1∑nk2=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)
Induktionsbehauptung:
k=1∑n+1k2=6(n+1)⋅(n+2)⋅(2n+3)
- Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?
Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:
k=1∑n+1k2=(k=1∑nk2)+(n+1)2
↓ Induktionsvoraussetzung einsetzen
=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+(n+1)2
Damit lautet die zu beweisende Gleichung:
6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+(n+1)2=6(n+1)⋅(n+2)⋅(2n+3)
- Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.
Die notwendigen Termumformungen sind:
6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+(n+1)2=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+6⋅(n+1)2=6(n+1)⋅(n⋅(2n+1)+6⋅(n+1))=6(n+1)⋅(2n2+n+6n+6)=6(n+1)⋅(2n2+3n+4n+6)=6(n+1)⋅(n⋅(2n+3)+2⋅(2n+3))=6(n+1)⋅(n+2)⋅(2n+3)
Beweis
- Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für n∈N≥1 bewiesen werden soll:
k=1∑nk2=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)
1. Induktionsanfang:
k=1∑1k2=12=1=61⋅2⋅3=61⋅(1+1)⋅(2⋅1+1)
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
k=1∑nk2=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)
- 2b. Induktionsbehauptung:
k=1∑n+1k2=6(n+1)⋅(n+2)⋅(2n+3)
- 2c. Beweis des Induktionsschritts:
k=1∑n+1k2=(k=1∑nk2)+(n+1)2
↓ Induktionsvoraussetzung einsetzen
=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+(n+1)2=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)+6⋅(n+1)2=6(n+1)⋅(n⋅(2n+1)+6⋅(n+1))=6(n+1)⋅(2n2+n+6n+6)=6(n+1)⋅(2n2+3n+4n+6)=6(n+1)⋅(n⋅(2n+3)+2⋅(2n+3))=6(n+1)⋅(n+2)⋅(2n+3)