Zeige folgende Aussage: lim a_(n) = a ==> lim (1/n)*(a_(1)+a_(2)+...+a_(n)) = a

Question

Es soll folgende Aussage gezeigt werden :



  $$ \lim _{ n\xrightarrow {  } \infty  }{ { \quad a }_{ n }=\quad a } \Rightarrow \lim _{ n\xrightarrow {  } \infty  }{ \frac { 1 }{ n }  } { \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } }  }=\quad a $$


GIbt es nicht einen Satz der aussagt, dass jede beschränkte folge eine teilfolge besitzt die gegen den gleichen wert konvergiert ???

oder hab ich da etwas verwechselt ?

Comments

Das 2. ist aber keine Teilfolge sondern die aus den an gebildete Reihe multiplizier mit 1/n.

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also würde das dann für die umkehrung gelten ???

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Nein es ist weder das eine eine Teilfolge des anderen noch umgekehrt.

Answer 1

Rechts steht, dass der Durchschnitt "aller" Summanden gegen den Grenzwert konvergiert.

Comments

Einen Tipp wie ich die Aufgabe dann angehe ?

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Wenn du nichts Passendes in deinen Unterlagen findest, versuch es vielleicht indirekt. Nimm an dass der Durchschnitt der Summe = b≠a ist.

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Ich habe es jetzt gefunden causche grenzwertberechnung

Dann mit der dreicksungleichung und so weiter leider bin ich nicht selbst drauf gekommen ...

Würde denn jetzt auch die Umkehrung gelten ?

müsste der Ansatz  dann der gleiche sein?

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umgekehrt geht das vermutlich nicht.

Nimm mal etwas, das nicht konvergiert, wie

a_(n):= (-1)^n

Rechts (beim Durchschnitt) kommt man da ohne Probleme auf den Grenzwert a = 0.

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Ja klar trivial aber sehr sinnvoll vielen Dank für die Hilfe

Answer 2

Ich muss mich entschuldigen; möglichwer Weise sind hier meine Absätze wieder zerstört. Ich mache das mit der ===> Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) von ===> Edward Nelson ( Alain Robert bei Wiley ) Ich führe folgende Konvention ein: Großbuchstaben mögen ab Jetzt nur noch Standardobjekten vorbehalten sein; griechische stehen für inf(initesimale) Größen. Wir gehen aus von einer Folge A < n > ===> A . Zu zeigen n D < n > := ( 1/n ) SUMME A < i > ===> A ( 1 ) i = 1Ich führe noch das Symbol eina ( = ) b | a - b = € = inf ( 2 )Dann haben wir auf Grund des Robinsonlemmas zu zeigen; für alle Nonstandard nD ( n ) ( = ) A ( 3 )Die NSA argumentiert ja ungeheuer intuitiv; an sich würde man doch annehmen, dass die ersten n0 Glieder der Folge ( 1 ) für das Grenzverhalten überhaupt keine Rolle spielen. Sei also n0 = Nonstandard; dann definiere ich als führenden Term t1 = t1 ( n0 )D ( n ) = t1 ( n0 ) + t2 ( 4a ) n0 t1 ( n0 ) := ( 1/n ) SUMME A < i > ( 4b ) i=1 n t2 = ( 1/n ) SUMME A < i > ( 4c ) i= n0+1Die Summe in ( 4b ) hängt ja nicht von n ab; wenn ich also nur n hinreichend groß werden lasse, kann ich immer erreichen, dass t1 = inf .D ( n ) ( = ) t2 ( 5a )( 4c ) schätzen wir ab mit dem Robinsonlemma ( Hier wird die Konvergenz von A < n > benutzt )A ( i ) = A + € ( i ) ; i = n0 + 1 , ... , n ( 5b )( 5b ) wird eingesetzt in ( 5a ) D ( n ) ( = ) ( 1 - n0 / n ) A + R ( 5c )Dabei ergibt sich das Restglied R als Mittelwert n R := ( 1/n ) SUMME € < i > ( 6a ) i = 1 Dabei wurde die Konvention benutzt €1 = €2 = . . . = € ( n0 ) = 0 ( 6b )D.h. das Restglied R stellt sich heraus als Mittelwert über inf Beiträge und ist damit selbst inf. Dann überlebt aber in ( 5c ) nur noch D ( n ) ( = ) ( 1 - n0 / n ) A ( 6c )Wenn ich nur n über alle Grenzen wachsen lasse, ist n0 / n = inf ( = ) 0 ; und aus ( 6c ) folgt Behauptung ( 3 )

Comments

Ich weiß nicht, warum der immer die ganzen Absätze kaputt macht. Es erscheint fast aussichtslos, die Summationsgrenzen wieder zu reparieren.
  Passiert ist das, weil ich den Rechner über Nacht anließ; der lässt dir höchstens 10 sec, den Puffer abzuschicken.
  Außerdem fiel der Fehler auf, dass ich keine Textvorschau bekam.