Untergruppen und Äquivalenzrelation

Question

Es sei H ⊂ G eine Untergruppe der Gruppe G, multiplikativ geschrieben. Für festes g ∈ G setzen wir

a) Zeige, dass die Relation

gH :={gh : h∈H}⊂G. g1 ∼g2 :⇐⇒g−1g2 ∈H

eine Äquivalenzrelation auf G definiert.

b)  Zeige, dass die zugehörigen Äquivalenzklassen [g] genau die Mengen gH sind.

c)  Konstruiere für jedes g ∈ G eine Bijektion H → gH sowie die Umkehrabbildung gH → H.

d)  Folgere, dass für eine endliche Gruppe G die Mächtigkeit |H| (die Anzahl der Elemente in H) stets ein Teiler von |G| (die Anzahl der Elemente in G) ist. 

Comments

Du beherrscht also den Imperativ. Wie wäre es mit einer Frage? :)

Answer 1

Es sei H ⊂ G eine Untergruppe der Gruppe G, multiplikativ geschrieben.

Für festes g ∈ G setzen wir 

gH :={gh : h∈H}⊂G.          g1 ∼g2 :⇐⇒g⁻¹g2 ∈H

a) Zeige, dass die Relation eine Äquivalenzrelation auf G definiert.

reflexiv: Für alle g aus G muss dann g^-1 * g aus H sein.

Da  g^-1 * g = n und jede Untergruppe das neutrale El. von G
enthält, stimmt das.

symmetrisch.   wenn     g1 ∼g2  da ist g1^-1 * g2 aus H   und

es ist zu zeigen   g2^-1 * g1  auch aus H .

Da  g2^-1 * g1   das Inverse von  g1^-1 * g2 ist, und H mit jedem El. auch

sein Inverses enthält, stimmt das auch .

transitiv:     wenn     g1 ∼g2  und  g2 ∼g3   dann gilt

g1^-1 * g2 aus H   und   g2^-1 * g3  aus H      dann ist aber

(da mit zwei Elementen von H auch das Produkt aus H ist)

( g1^-1 * g2 )* ( g2^-1 * g3)   aus H ,

das ist aber     g1^-1 * g3  .

Also ist auch   g1 ∼g3. Rel. also auch transitiv.