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Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von x.e^{x²}
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  bitte schreib doch die Funktion einmal richtig. Bei mir steht

  x punkt ( e hoch x hoch 2 )

  x punkt ergibt keinen Sinn

  mfg Georg

die funktion:

 

(x)e^x2  

 

(x mal e hoch x(quadrat))

 

lg

leider kann ich dir nicht weiterhelfen.

mfg Georg

Zur richtigen Schreibweise korrigiert: x*e

2 Antworten

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Hallo !

Hier einmal ein beispielhafter Rechenweg, wie er für Exponentialfunktionen, wie e^{x^2} zum Beispiel vorgenommen werden koennte:

1) Intervall auswählen, das angenähert werden soll

2) für das Intervall ein kubisches Gleichungssystem mit 4 unbekannten Koeffizienten aufstellen

  - 4 gleichabständige Stellen auswählen

   - die Funktionswerte jeweils logarithmieren

   - eine Zeile lautet also:

         a3 xi^3 +a2 xi^2 +a1 xi +a0 -log (f(xi)) = 0

3) das Gleichungssystem mit einem Verfahren lösen, z. B. Gauß-Verfahren, und somit die

     Koeffizienten a3, a2, a1, a0 bestimmen

4) die Nullstelle(n) der Gleichung

        a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x +a0 -log (y) = 0

    bestimmen mit den Cardanischen Lösungsformeln. Dabei den Parameter y

    unaufgeloest lassen.

5) für einen bestimmten Wert y bestimmen, ob als Funktion cos, cosh oder sinh zur Anwendung kommt.

6) den Wert für x bestimmen

7) Probe durchführen (x*e^{x^2} soll in etwa y ergeben)

Dann ergibt sich zum Beispiel:

1) Intervall auswählen, das angenähert werden soll

     -> zum Beispiel

x1 = 0.5,

x2 = 1.0,

x3 = 1.5,

x4 = 2.0

2) für das Intervall ein kubisches Gleichungssystem mit 4 unbekannten Koeffizienten aufstellen

  - 4 gleichabständige Stellen auswählen

   - die Funktionswerte jeweils logarithmieren

   - eine Zeile lautet also:

         a3 xi^3 +a2 xi^2 +a1 xi +a0 -log (f(xi)) = 0

        a3 (1/8) +a2 (1/4) +a1 (1/2) +a0 -log (0.5 * e^0.25) = 0

        a3 (1) +a2 (1) +a1 (1) +a0 -log (e) = 0

        a3 (27/8) +a2 (9/4) +a1 (3/2) +a0 -log (1.5 * e^2.25) = 0

        a3 (8) +a2 (4) +a1 (2) +a0 -log (2 * e^4) = 0

3) das Gleichungssystem mit einem Verfahren lösen, z. B. Gauß-Verfahren, und somit die

     Koeffizienten a3, a2, a1, a0 bestimmen

     a3 = 0,226532

     a2 = -0,254960

     a1 = 2,872304

     a0 = -1,843875

4) die Nullstelle(n) der Gleichung

        a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x +a0 -log (y) = 0

    bestimmen mit Lösungsformeln für Gleichungen 3. Grades. Dabei den Parameter y

    unaufgeloest lassen.

    (0.226532 x -0.084987)^3 + 0.629001 (0.226532 x -0.084987) -0.0040551 -0.226532^2 * ln y = 0

    p = +0.629001

    q = -0.0040551 -0.226532^2  * ln y

    x0 = 0.375164 +2.021321 * (2 * trig 1/3 arc (0.211193 +0.267260 * log (y)))

5) für einen bestimmten Wert y bestimmen, ob als Funktion cos, cosh oder sinh zur Anwendung kommt.

    bestimmt werden soll z.B.  xu  für y = 0,75

    ->  p = +0.629001   -> tr ig = sinh     und arc = arsinh

    -> zur Anwendung kommt trig = cos   mit arc = acos

6) den Wert für x bestimmen

   ->  x1 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (0.5 * e^0.25)))

              = 0.50000038 (w)

   ->  x2 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (1 * e^1)))

              = 0.99999966 (w)

   ->  x3 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (1.5 * e^2.25)))

              = 1.49999903 (w)

   -> x4 = 0.375164+2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.267260 * log (2 * e^4)))

              = 1.99999855 (w)

   -> x01 = 0.375164 +2.021321 *(0.08930068) = 0.555669339

7) Probe durchführen (x*e^{x^2} soll in etwa y ergeben)

    y01 = x01*e^{x01^2} = 0.756681     ->  y01 * 0.99117 = 0.75   -> Korrekturfaktor 99 %
von
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Die Lösung gelingt zum Beispiel über das Newton-Iterationsverfahren.

Esgilt für einen beliebigen Wert a die Nullstelle zu finden:

a = x*e^{x^2}

 

Um die Rechnung zu vereinfachen logarithmiere ich die Gleichung:

ln a = x^2 +ln x         für a > 0

 

Damit ergibt sich die lösende Gleichung:

g(x) = x^2 +lnx -ln a = 0

 

Die Ableitung heißt dann

g'(x) = 2x +1/x

Damit lautet die Iterationsformel

x1 = x0 -(x0^2 +lnx0 -lna) / (2x0 +1/x0)

x1 = (2x0^2 +1 -x0^2 -lnx0 +lna) / (2x0 +1/x0)

x1 = (x0^2 +1 -lnx0 +lna) / (2x0 +1/x0)

x1 = x0 * (x0^2 +1 -lnx0 +lna) / (2x0^2 +1)

x1 = x0 * ln ( e^{x0^2} * a*e/x0 ) / (2x0^2 +1)

Ein geeigneter Startwert der Iteration ist z.B. x0 = 1

Daraus folgt

x1 = 1  * ( 1^2 +1 -0 +0) / (2*1^2 +1) = 2/3

x2 = 2/3 * ( 4/9 +1 - ln (2/3) +0 ) / (2 * 4/9 +1) = 2/3 * 9/17 * (13/9 -ln (2/3) ) = 0.652909253

x3 = 0.652909253 * ( 0.652909253^2 +1 - ln 0.652909253 + 0 ) / ( 2 * 0.652909253^2 +1 )

     = 0.65291864

x4 = 0.65291864 * ( 0.65291864^2 +1 - ln 0.652909253 + 0) / ( 2 + 0.65291864^2 +1 )

     = 0.652918639

Probe : 0.652918639 * e^{ 0.652918639^2} = 0.999999998 (w)

von

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