Zeigen, Reihen für |x| < 1 konvergieren

Question

Ich habe folgendes Problem zur Lösung folgender Aufgaben. Zudem soll gezeigt werden, dass die folgenden Reihen für |x| < 1 konvergieren. Wäre super, wenn sich jemand die Mühe machen könnte und für alle Teilaufgaben einen Lösungsmöglichkeiten hinzufügen könnte. Folgender Hinweis: Es existiert ein ε mit der Eigenschaft 0 < ε < 1 - |x|

Comments

Hab bis eben leider noch keine Lösung, wenn sich wer die Mühe machen möchte, dann nur zu :)

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ich suche folgende Lösungen für die Aufgaben. Bei allen gilt n=1 bis ∞

1.) ∑ (1/n) * xⁿ

2.) ∑ (x + 1/n)ⁿ

3.) ∑ n*xⁿ

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Kann mir bitte einer helfen dies zu lösen?

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Habe bei a) x/2

und c) 2x

weiß jedoch nicht, ob die lösung richtig ist, b) fehlt mir komplett

Answer 1

a) Wurzelkritierium

b) Wurzelkriterium

c) hmm was denkst du? Richtig! Wurzelkriterium ;).

Gruß

Comments

Tut mir leid, aber wurzelkriterium sagt mir gerade gar nichts, kannst du mir dies mal zeigen anhand von einer Aufgabe?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
Da sind auch Beispiele.

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Ich versteh die Schritte nicht ganz. Wie kommt man drauf, dass lim ( 1 - 1/n)^n = 1/e < 1 ist.

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https://www.mathelounge.de/291070/probleme-beim-grenwert-berechnen

Ok die Beispiele aus dem Link sind im Nachhinein vielleicht nicht so der Renner für deine Aufgaben deswegen hier mal als Beispiel:

$$ \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|nx^n|} = \lim \limits_{n \to \infty} |x| \sqrt[n]{n} = |x| < 1$$

Also konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkritierium (absolut)

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Ok, da kommt erstmal Arbeit auf mich zu, kannst du mir die Lösungen zu den Aufgaben per Mail schicken? Muss auch nicht heute sein, da ich mich eh erstmal reinarbeite muss.

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Hattet ihr das Kriterium noch nicht? Komisch. Die anderen Aufgaben funktionieren im Grunde analog. Es läuft immer wieder darauf hinaus, dass am Ende \(|x| < 1\) nach Voraussetzung gilt,

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Das Kriterium sagt mir leider gar nichts, aber danke trotzdem für die Hilfe.

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Dann musst du es wohl anders machen. Welche Kriterien hattet ihr denn schon bzw. bei welchem Thema seid ihr grade genau. Mit dem Quotientenkriterium sollte es auch möglich sein.

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Momentan sind wir am Anfang bei Komplexe Zahlen. Folgende Kriterien sind mir nur bekannt: Leibnitz-Kriterium, Quotientenkriterium, Minorantenkriterium, majorantenkriterium, sowie Cauchy-Kriterium

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Dann mach es halt mit dem QK, läuft auf das gleiche hinaus.

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Sag mal, gibst du auch Nachhilfe?

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Für alle 3 Aufgaben QK anwenden?

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Ja :) aber nur im Kreis Wuppertal.Ja sollte bei allen funktionieren. bei der b) wahrscheinlich etwas umständlich.

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Ok Wuppertal ist zu weit weg, schade :P

Nagut, werde mich mal an die aufgaben setzen und hoffen das was vernünftiges bei raus kommt. Danke nochmal für alles

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:) Kannst ja auch erstmal probieren mit Kommilitonen eine Lerngruppe zu gründen. Bringt oft auch einiges. Nachhilfe auf Uni-Niveau ist ja meist auch schwer zu finden und wenn dann auch nicht grade günstig.

Ja mach mal bei Rückfragen melde dich einfach. Bei der b) kann man mit Majorantenkriterium vorgehen ist aber auch nicht grade weniger umständlich. Kann natürlich sein, dass ihr vor der Abgabe der Aufgaben noch das WK in der Vorlesung behandelt ;).

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Die Abgabe ist Donnerstag und die nächste Vorlesung auch erst am gleichen Tag, daher muss ich mich damit die Nacht noch rumschlagen :P

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a) x/2

b) ?

c) 2x

Habe ich a) und c) richtig als Endergebnis. Ich bräuchte Hilfe bei b) mit Hilfe des Quotientenkriterium. Wie bei Flor, kenne ich ebenfalls kein Wurzelkriterium

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Was sollen x/2 und 2x sein?

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a) ∑ 1/n*xⁿ = ((1/n+1) * (n^x+1/1)) * ((n/ 1) * (1/xⁿ))

= (1/n+1) * ((xⁿ * x)/1) * (n/1) * (1/xⁿ)

= 1/n+1 * x * n

= (x*n)/(n+1)

= x/2 < 1

c) Ebenfalls mit Quotientenkriterium 2x < 1

Oder habe ich da was falsch gemacht? Wenn ja, dann bitte widerlegen mit Lösung oder Ansätze einer Lösung

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Was falsch gemacht ist gut.
1. Das Gleichheitszeichen nach der Summe ist völlig falsch gesetzt. Das ist nicht der Wert der Summe.
2. Beim QK betrachtet man den Grenzwert des Betrages.
3. Du hast n und x in der 1. Zeile einmal vertauscht (ok ich gehe davon aus vertippt).
4. In der 3. Zeile Klammern vergessen.
5. Die letzte Umformung macht leider gar keinen Sinn. Wie kommst du von \(\frac{xn}{n+1}\) auf \(\frac{x}{2}\)?
Es ist:
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left | \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{x^n} \right | = \lim \limits_{n \to \infty} \left | \frac{xn}{n+1} \right | = |x| $$
und da \(|x| < 1 \) konv. die Reihe nach dem QK.

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Wenn ich (x*n)/(n+1) habe und für n = 1 einsetze, dann hab ich doch (x*1)/(1+1) = x/2

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Zum Beweis trägt das Einsetzen für \(n\) aber mal gar nichts bei.

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Ich habe dieses Schema verwendet wie auf Wikipedia Quotientenkriterium bei der 1. Beispielaufgabe, dort haben die ebenfalls für n = 0 eingestzt und 3/25 raus

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Da wurde nicht "einfach \(n=0\)" eingesetzt sondern nach oben abgeschätzt. Außerdem ist der Zusammenhang dort ein ganz anderer.

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Kannst du mir bitte konkrete Ansätze geben für alle Aufgaben, ich komme sonst nicht voran. Wahrscheinlich ist dir auch schon aufgefallen, dass ich die gleichen Aufgaben wie Flor habe, daher kannst du dir sicher denken, wann die Aufgaben abgegeben werden müssen. Es würde mir helfen!

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QK ist der konkrete Ansatz. Die c) funktioniert eigentlich fast genauso wie die a).

Bei der b) kannst du zum Beispiel Fallunterscheidung verwenden.

Ist \(0<x<1\) so ist \(|x+\frac{1}{n+1}| \leq |x + \frac{1}{n}| \) für alle \(n \geq1\).

Ist \(-1<x<0\) so ist  ab einem bestimmten \(N\): \(|x+\frac{1}{n+1}| \geq |x + \frac{1}{n}| \) für \(n \geq N\).

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merci, hast du eigentlich auch noch Ideen für https://www.mathelounge.de/293255/welche-der-reihen-konvergieren?state=comment-293268&show=293268#a293268

a) wurde schon bewiesen, dass die konvergiert. Bei c) und d) bin ich mir eigentlich recht sicher, dass diese beiden divergieren, aber ich bin mir da nicht ganz sicher. Was mir jedoch komplett fehlt ist b)