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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto \frac{x}{2}\left(1+(\ln x)^{2}\right) \). Ihr Graph wird mit \( G \), bezeichnet.

2.1 Zeige ohne Verwendung der zweiten Ableitung, dass \( G_{f} \) keinen Extrempunkt besitzt.

2.2 Ermittle das Krümmungsverhalten von \( G_{f} \) und weise nach, dass \( G_{f} \) genau einen Terrassenpunkt besitzt. Berechne dessen Koordinaten.

2.3 Untersuche das Verhalten von \( f(x) \) für \( x \downarrow 0 \) und für \( x \rightarrow \infty \). Gib die Definitions- und Wertemenge von \( f \) an.

2.4 Ist \( f \) umkehrbar? Begründe deine Antwort.

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2.1

f(x) = x/2·(1 + LN(x)^2)

f'(x) = LN(x)^2/2 + LN(x) + 1/2 = (LN(x) + 1)^2/2

Einen Extrempunkt könnte man für ln(x) = -1 oder x = 1/e = 0.3679 erwarten.

Für alle anderen Werte  von x ist f'(x) durch das Quadrat allerdings Positiv d.h. wir haben es mit einer monoton Steigenden Funktion zu tun. D.h. hier haben wir nur einen Sattelpunkt vorliegen.
von 439 k 🚀
also warum ist es ein Sattelpunkt?? ich verstehe dies nicht

f''(x) = (LN(x) + 1)/x

Für x = 1/e wird die 2. Ableitung null. Das ist unser Sattelpunkt.

Da ln(x) eine monotone Funktion ist ist für x < 1/e der Graph rechtsgekrümmt und für x > 1/e der Graph linksgekrümmt.

f(1/e) = 1/e

Terassenpunkt ist bei (1/e | 1/e)

Skizze:

Die Ableitung kann nie negativ sein. (wegen dem Quadrat!).

Daher fällt die Kurve nie. Somit sind weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt möglich.
ach soo ! vielen dank
könnten Sie mir bitte noch bei den anderen Aufgaben helfen?

2.3.

f(x) = x/2·(1 + LN(x)2)

lim x→0+ (x/2·(1 + LN(x)^2))

Da haben wir ein Problem. x geht gegen 0 und (1 + LN(x)^2) geht gegen Unendlich. Daher schreibe ich die Funktion etwas anders

lim x→0+ (1 + LN(x)^2) / (2x^{-1})

Jetzt kann ich die Regel von Hospital anwenden

lim x→0+ (2·LN(x)/x) / (- 2/x^2)

lim x→0+ - x·LN(x) = -x / ln(x)

erneut Hospital anwenden

lim x→0+ -1 / (1/x) = -x 

Damit geht der Funktionsterm auch gegen 0. Woher hier das Minus kommt weiß ich gerade nicht. Ich denke mal das sollte da nicht stehen.

lim x (x/2·(1 + LN(x)^2)) = 

Die Definitionsmenge ist R+

Die Wertemenge ist ebenfalls R+

2.4.

Die Funktion sollte Umkehrbar sein, da es eine monoton Steigende Funktion ist. Definitions und Wertebereich würden bei R+ bleiben.

Die Umkehrfunktion scheint allerdings nicht ganz trivial zu sein.
muss man nicht noch die x bzw. y werte miteinander vertauschen und nach y ausrechnen?
Das kannst du ja mal probieren ...
Nein im ernst. Dort steht nur die Frage ob es eine Umkehrfunktion gibt. Dort steht nicht, dass man die Umkehrfunktion berechnen soll.
Wie du feststellen wirst ist das auch nicht ganz so trivial.
wie kann man nun dies bestimmen ob sie umkehrbar ist?? Nur die Wertemenfe und Defmenge vertauschen?
Bei Umkehrung muss die Funktion eindeutig sein. D.h. sie muss an der Geraden g(x) = x gespiegelt werden können und wieder eine Funktion ergeben.

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