hier steht eigentlich alles was du brauchst:
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius
Es hilft natürlich ungemein, wenn man die Kriterien (sprich ihre Beweise) auch versteht, damit man ein besseres Bild dafür bekommt, was man macht und warum es funktioniert. Das Problem ist, dass man sowas schlecht an einzelnen Beispielen lernt, es sei denn man ist sehr sicher im Bereich Grenzwerte und hat nur ein paar kleine Verständnisprobleme.
Das Quotientenkriterium wird gefühlt von Studenten bevorzugt, funktioniert allerdings nicht immer. Die Formel von Cauchy-Hadamard (also quasi das Wurzelkriterium für den Konvergenzradius) ist eigentlich bei der Bestimmung von Konvergenzradien das Maß aller Dinge. Es gibt natürlich auch weitere Kriterien, die ein wenig spezieller sind, aber im Grunde sich auch aus diesem Kriterium herleiten (jedenfalls die, die ich so bisher gesehen habe, für weitere Anregungen bin ich gerne offen).
Beispiel für a): Wir nennen den Konvergenzradius mal \(r\) wie im Link:
$$ \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left | \frac{(-2)^n}{n} \right | } = 2 \Rightarrow r = \frac{1}{2}$$
bzw.
$$ r = \lim \limits_{n \to \infty} \left |\frac{ \frac{(-2)^n}{n}}{\frac{(-2)^{n+1}}{n+1}} \right | = \frac{1}{2} $$
Das bedeutet nun: für \( |z| < r \) konvergiert die Reihe, für \( |z| > r \) divergiert sie, Was auf dem Rand des Konvergenzbereichs passiert verraten dir diese Kriterien aber nicht, das musst du dann (falls überhaupt verlangt, hier ja nicht) speziell untersuchen.
Gruß
