Der Vorschlag von Yayu, es auf den HN zu bringen, ist heller Wahnsinn. Ihr missbraucht ja die Polynomdivision ( PD ) zu allen möglichen Zwecken, wo sie gar nicht erforderlich ist. Aber hier wirst du sehen, dass der Grenzwert existiert gerade, weil sich der ganz rationale Beitrag weg kürzt. Die PD erspart dir nämlich das Auflösen von Klammern.
PD verhält sich zu HN wie Klammern Auflösen zu Faktorisieren; und sitzen hier nicht die ganzen Fans des Ausmultiplizierens? Überhaupt kann ich mich des Eindrucks nicht erwehren, dass die höhere Analysis ( völlig zu Unrecht ) das Auflösen von Klammern, wie es ja mit Bilden des HN auf dich zukommt, als triviales Geschäft betrachtet. Beide Terme sind doch nix weiter als gebrochen rationale Funktionen.
g1 ( x ) := ( x ² + 1 ) : ( x + 2 ) ( 1a )
Im Internet wurde übrigens anonym entdeckt, dass PD durch Linearfaktor ( PDLF ) das Selbe ist wie Hornerschema. Kommentar
" Während sich der Lehrer da vorne eine gee-schlaa-ge-ne Viertelstunde da vorne an der Tafel mit der PD abquält für nichts und wieder nichts, habe ich das Ergebnis in 10 sec im Kopf.
Die Metode verrate ich euch aber nur, wenn ihr auch höflich zu mir seid. "
Die PDLF verläuft ja nach dem Prinzip
f ( x ) := x ² + 1 ( 1b )
f ( x ) : ( x + 2 ) = m x + b Rest f ( - 2 ) ( 1c )
Hier im linearen Fall ist der Zusammenhang mit dem Hornerschema fast schon zu leicht, als dass man ihn groß erklären könnte:
p2 ( f ) := a2 ( f ) = 1 = m ( 2a )
p1 ( f ; - 2 ) := - 2 p2 + a1 ( f ) = - 2 * 1 + 0 = ( - 2 ) = b ( 2b )
p0 ( f ; - 2 ) := - 2 p1 + a0 ( f ) = - 2 * ( - 2 ) + 1 = 5 = f ( - 2 ) ( 2c )
g1 ( x ) = ( x ² + 1 ) : ( x + 2 ) = x - 2 + 5 / ( x + 2 ) ( 2d )
An sich ist ( 2d ) logisch, wenn du mal an die 3. binomische denkst. Wie ihr mit ( 2d ) umzugehen habt, wisst ihr. Nach erfolgter PD ist der gebrochene Rest immer echt gebrochen; ich meine Zählergrad < Nennergrad. Dieser Beitrag geht also im Limes gegen Null. Als Asymptote ( ganz rationaler Anteil ) der ursprünglichen gebrochenen Funktion stellt sich eine Gerade heraus; eine Parallele zur Winkel Halbierenden. Deine Beobachtung war also ganz richtig; für x ===> ( +/- °° ) geht ( 1a ) auch gegen ( +/- °° )
Hier ich bin weder Gutenberg noch Bösental; zur Sicherheit habe ich gespickt, damit ich euch nichts Falsches erzähle. Deine zweite gebrochen rationale Funktion
http://matheguru.com/rechner/polynomdivision/
Besonders witzig finde ich den Cartoon mit dem quietschenden rostigen Räderwerk . . .
x ^ 4 + 1 2 x - 1
g2 ( x ) := ---------------------- = x - ---------------- ( 3a )
x ³ + 2 x ³ + 2
Langer Rde kurzer Sinn:
g1 ( x ) = x - 2 + Rest 1 ( 3b )
g2 ( x ) = x + Rest 2 ( 3c )
g1 - g2 = - 2 + Rest 3 ( 3d )
Mit der PD wird auf einmal auch das Prinzip durchsichtig. der Grenzwert einer Linearkombination gebrochen rationaler Funktionen existiert genau dann, wenn sich die ( divergenten ) polynomialen Beiträge weg heben bis auf das Absolutglied ; und die linearkombination der Absolutglieder stellt den Grenzwert dar.
