Beweise, dass U orthogonal = U orthogonal orthogonal orthogonal ist

Question

Aufgabe: Beweise U^⊥ = U^⊥⊥⊥

Unsere Ansätze:

1. U^⊥ ⊇ U^⊥⊥⊥

Sei v∈ U ^{⊥ ⊥ ⊥} für u ∈U ^⊥ ⊥ : ⟨v,u⟩  =0

Wir wissen, dass U ⊆ U ^⊥ ⊥  ⇒ ∀ w∈U: ⟨v,w⟩ =0    ⇒ v∈U^⊥

2. U^⊥ ⊆ U^⊥⊥⊥

Sei u∈U^⊥ ⇒ ∀ v∈U^⊥⊥ : ⟨u,v⟩ = 0

⇒ weiter wissen wir nicht......

Wären sehr dankbar darüber wenn uns wer sagen könnte ob #1.) stimmt bzw. wie wir bei #2.) weiterarbeiten sollten.

Glg

Answer 1

2. U^⊥ ⊆ U^⊥⊥⊥

Sei u∈U^⊥   Dann ist ja zu zeigen:  u∈U^⊥⊥⊥  .

d,h.  ∀ v∈U^⊥⊥ : ⟨u,v⟩ = 0

und wenn u∈U^⊥  heißt es doch :

∀ v∈V  ⟨u,v⟩ = 0   Da aber U^⊥⊥ ⊂ V ist

⟨u,v⟩ = 0   halt auch für alle   v∈U^⊥⊥ erfüllt.

Comments

Okay danke.

Heißt das, dass die ERSTE Richtung stimmt?

Glg

Jana

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Ich sehe aber trotzdem nicht genau wo du dann zeigst, dass das u in U^⊥⊥⊥ ist.....

Hättest du nochmals Geduld für mich um mir das zu sagen?

Glg

Jana

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vielleicht doch eher so:

wenn u∈U^⊥  heißt es doch :

∀ v∈U  ⟨u,v⟩ = 0   D.h. das u steht senkrecht

auf allen Elementen aus U . Da aber U^⊥⊥ ⊂ U ist

steht das u auch senkrecht aus allen aus U^⊥⊥.

und Teil 1:

Sei v∈ U ^{⊥ ⊥ ⊥} für alle u ∈U ^⊥ ⊥ : ⟨v,u⟩  =0

Wir wissen, dass U ⊆ U ^⊥ ⊥  ⇒ ∀ w∈U: ⟨v,w⟩ =0    ⇒ v∈U^⊥

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wusste nicht, dass ich das U^⊥⊥ ⊂ U  verwenden kann. Ist da allgemeingültig? haben, dass ja noch nirgends bewiesen.... ;S

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Da werde ich jetzt auch unsicher, vielleicht ist das doch noch nicht

der große Wurf.