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könnte bitte jemand bestätigen, dass die folgenden Fragen korrekt beantwortet sind.

Es handelt sich hier um Klausurfragen (Theoretische Physik).

1)Was ist ein Tensor?

A: Ein Tensor ist eine mutlilineare Abbildung von einem (Vektorraum,Dualraum) in einen Vektorraum.


2) Wie ist das Dyadische Produkt definiert 

A: Das dyadische Produkt ist eine spezielle Operation zwischen Vektoren dessen Ergebnis eine Matrix (Tensor der Stufe 2) mit Rang ist.


Diese Themen wurden neu eingeführt und komischerweise nicht richtig definiert und es wurde nicht näher drauf eingegangen. Dementsprechend bin ich mir unsicher ob meine Antworten korrekt sind.

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Zum Tensor.

Es geht hier um kassische Physik, d.h. wir haben einen euklidischen Raum mit n=3 Dimensionen.

In der Physik ist man nicht so darauf versessen, die Dinge koordinatenfrei zu definieren, daher identifiziert man einen Vektor mit seinen Komponenten bezüglich eines Koordinatensystems und definiert ihn darüber, wie sich diese Komponenten unter orthogonalen Transformationen verhalten. (Das sind, wie du sicher weißt, Drehungen und Spiegelungen).

Genauer: Stell dir vor, du hast ein Koordinatensystem KS mit Koordinaten $$x^1,...x^n,$$eine orthogonale Matrix $$M \in O(n)$$ und ein zweites Koordinatensystem KS' mit

$$ x'^i = \sum_j M^{ij} x^j.$$

Das heißt, dass das Koordinatensystem KS' relativ zu KS um einen bestimmten Winkel gedreht ist (wenn man Spiegelungen mal außen vor lässt). Ein Vektor ist jetzt ein Objekt

$$v = (v^1,...,v^n)$$

für dessen Komponenten im neuen Koordinatensystem

$$v'^i = \sum_j M^{ij}v^j$$

gilt, das heißt bei einem Vektor transformieren sich die Komponenten bei einer orthogonalen Transformation wie die Koordinaten. (Wenn du mit fancy Begriffen angeben willst, kannst du sowas sagen wie "die Vektoren bilden die Fundamentaldarstellung von O(n)")

Das lässt sich beliebig verallgemeinern:

Man hat ein Koordinatensystem mit Koordinaten x, geht zu einem neuen mit Koordinaten x', die mit x über eine orthogonale Trf. zusammenhängen und definiert:

- ein Skalar (Tensor der Stufe 0) a ist eine Größe, die sich bei dem Koordinatenwechsel in der Form

$$ a' = a,$$

also gar nicht transformiert. fancy-pantsig kann man auch sowas sagen wie "Skalare bilden die triviale Darstellung der Gruppe".

- ein Vektor (Tensor der Stufe 1) ist eine Kollektion von Größen v^i (mit i=1,...,n), die sich gemäß

$$ v'^i = \sum_j M^{ij}v^j$$

transformieren

- ein Tensor der Stufe 2 zwei besteht aus Objekten T^ij, die sich gemäß

$$ T'^{ij} = \sum_k\sum_l M^{ik}M^{jl} T^{kl}$$

transformieren usw.



Fazit

In der Kurzfassung und diesmal mit impliziter Summe (d.h. über doppelt auftretende Indizes wird jeweils von 1 bis n summiert):

Ein Tensor der Stufe k besteht aus Objekten $$T^{i_1i_2\cdots i_k},$$ die sich bei einer orthogonalen Transformation$$ x^i \mapsto x'^i = M^{ij}x^j$$ gemäß

$$T^{i_1i_2\cdots i_k} \mapsto T'^{i_1i_2\cdots i_k} = M^{i_1j_1}M^{i_2j_2}\cdots M^{i_kj_k} T^{j_1\cdots j_k}$$

transformieren.

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Ein kleine Anmerkung: ich bin auf die von dir genannte Definition aus zeitlichen Gründen nicht eingegangen, kann dir aber sagen, dass die Definition über das Transformationsverhalten unter Symmetrien die in der Physik sinnvolle und übliche ist. Falls du dazu etwas wissen willst oder sonst irgendwelche Fragen zu dem hast, was ich geschrieben habe, nur zu, kann aber bis morgen dauern.

Vielleicht sei noch gesagt, dass das konzeptuell nicht soo ganz leicht ist, falls du gerade am Anfang deines Physikstudiums bist und der Tensorbegriff eigentlich erst wichtig wird, wenn ihr mit Feldtheorien / spezieller Relativitätstheorie anfangt und dann natürlich bei der ART, Quantenfeldtheorien usw.

Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort. Wenn ich in Zukunft mehr Wissen zu diesem Thema haben werde, komme ich nochmal auf deine Antwort zurück und kann es dann vielleicht besser nachvollziehen.


Da ich erst im ersten Semester bin, fehlt mir wahrscheinlich das Mathematische Grundverständnis. Dementsprechend konnte ich nicht alles verstehen.


Aber wir würde deine Antwort ausfallen, wenn du in der Klausur gefragt wirst


 1)Was ist ein Tensor?

2) Wie ist das Dyadische Produkt definiert ?

1) das, was ich oben unter "Fazit" geschrieben habe

2) Das dyadische oder äußere Produkt $$x\otimes y$$ zweier Vektoren x und y mit Komponenten (x^1,...,x^m) und (y^1,...,y^n) ist eine m * n - Matrix mit Komponenten

$$ (x\otimes y)^{ij} = x^i\cdot y^j.$$

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