Gegeben sei die Funktionenschar

Question

fp(x)= (x²-px)/(px²-1)

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich Dfp der Funktion fp(x).

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von fp(x).

c) Welche Polstellen hat fp(x)?

d) Geben Sie die Grenzwerte und Asymptoten von fp(x) an.

e) Zeigen Sie, dass der Punkt (1 | –1) den Graphen aller Funktionen der Schar gemeinsam ist.

f) Untersuchen Sie, ob es außer dem Punkt (1 | –1) noch weitere gemeinsame Punkte gibt.

g) Skizzieren Sie den Graphen f2(x), d. h. den Graphen der speziellen Funktion fp(x) mit p = 2

Answer 1

a) Der Nenner darf nicht 0 sein. px²-1=0 oder x_1/2=±√(1/p) D=R\{-√(1/p, √(1/p}

b) Nullstellen des Zählers, die nicht Nullstellen des Nenners sind x²-px=0 oder x·(x-p)=0. x₁=0 und x₂=p.

c) Die Polstellen sind die Definitionslücken x_1/2=±√(1/p).

d) Funktionsterm mit x² gekürzt (1-(p/x))/(p-1/x²). Für x gegen ±∞ gehen die Werte gegen 1/p. y=1/p ist waagerechte Asymptote.

e) (1 | –1) in Funktionsgleichung eingesetzt, ergibt die allgemeingültige Aussageform (1-p)/(p-1)= - 1.

f) (0/0) erfüllt alle Funktionsgleichungen der Schar.