Lage von Gerade und Pyramide

Question

mit welchen punkten muss ich die ebenengleichung aufstellen und wie berechnet man 2 schnittpunkte aus, bisher mussten wir nur einen schnittpunkt ausrechnen

Lage von Gerade und Pyramide

Gegeben ist die Pyramide mit den Ecken \( \mathrm{A}(8|0| 0), \quad \mathrm{B}(0|6| 0), \quad \mathrm{C}(0|0| 0) \)
und der Spitze \( \mathrm{S}(0|0| 6) \)
a) Bestimmen Sie die Kantenlängen.
b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden g durch \( \mathrm{P}(12|10|-3) \) und \( \mathrm{Q}(10|8|-2) \) mit der Pyramide. Wie lang ist die Teilstrecke der Geraden, die im Innern der Pyramide verläuft?

  

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Vom Duplikat:

Titel: Gerade schneidet Pyramide

Stichworte: gerade,ebene

Aufgabe:

Gegeben ist die Pyramide mit den Ecken A\((8|0|0)\), B\(((0|6|0)\), C\((0|0|0)\) und der Spitze S\((0|0|6)\).

a) Bestimmen Sie die Kantenlängen.

b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden \( g \) durch \( \mathrm{P}(12|10|-3) \) und \( \mathrm{Q}(10|8|-2) \) mit der Pyramide. Wie lang ist die Teilstrecke der Geraden, die im Innern der Pyramide verläuft?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe die 14 b) nicht. Ich habe den Schnittpunkt (4/2/1) raus mit T= 4. Wie soll ich nun vorgehen um die Teilstrecke herauszufinden

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Die Gerade hat noch einen zweiten Schnittpunkt mit der Pyramide.

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Ich habe den Schnittpunkt (4/2/1) raus mit T= 4

Es gibt zwei Schnittpunkte. Nur so kann man nach der Länge der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten fragen. Die angegebenen Koordinaten des einen Schnittpunktes stimmen. Was bedeutet T?

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Ich Krieg das bei dem anderen Schnittpunkt irgendwie nicht hin, könnte mir da jemand helfen.

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Wie hast Du denn den ersten berechnet?

Answer 1

a)

|AC| = 8 ; |BC| = 6 ; |CS| = 6 ; |AB| = √(8^2 + 6^2) = 10; |AS| = √(8^2 + 6^2) = 10 ; |BS| = √(6^2 + 6^2) = 6·√2

b)

Liegt ein Schnittpunkt in EACS
[0, 0, 0] + r·[8, 0, 0] + s·[0, 0, 6] = [12, 10, -3] + t·[-2, -2, 1] → r = 1/4 ∧ s = 1/3 ∧ t = 5
[12, 10, -3] + 5·[-2, -2, 1] = [2, 0, 2]

Liegt ein Schnittpunkt in EABC
[0, 0, 0] + r·[8, 0, 0] + s·[0, 6, 0] = [12, 10, -3] + t·[-2, -2, 1] → r = 3/4 ∧ s = 2/3 ∧ t = 3 → r + s > 1 und damit kein Schnittpunkt

Liegt ein Schnittpunkt in EACS
[8, 0, 0] + r·[-8, 6, 0] + s·[-8, 0, 6] = [12, 10, -3] + t·[-2, -2, 1] → r = 1/3 ∧ s = 1/6 ∧ t = 4
[12, 10, -3] + 4·[-2, -2, 1] = [4, 2, 1]

Abstand der Schnittpunkte
|[4, 2, 1] - [2, 0, 2]| = |[2, 2, -1]| = √(2^2 + 2^2 + 1^2) = 3

Answer 2

Stelle die Gleichung der Ebene auf, welche das Dreieck ABS enthält.

Stelle die Gleichung der Ebene auf, welche das Dreieck ACS enthält.

Stelle die Gleichung der Geraden auf, welche die Punkte P und Q enthält.

(Ich würde alles in Parameterform machen.)

Setze den Term der Geradengleichung gleich dem der ersten Ebenengleichung. Das gibt ein LGS mit drei Gleichungen (für die drei Dimensionen) in drei Unbekannten (den Parametern der Ebenen- und Geradengleichung). Die Lösung, eingesetzt in die Geradengleichung, ist der erste Schnittpunkt.

Setze den Term der Geradengleichung gleich dem der zweiten Ebenengleichung. Die Lösung ergibt den zweiten Schnittpunkt.

Berechne den Abstand der beiden Schnittpunkte.

Comments

Fehlt : Prüfe, ob die Schnittpunkte auf den Pyramidenflächen liegen.

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Fehlt : und mache dann einen freudigen Purzelbaum (vor- oder rückwärts).