Nullstellen von G (x)=X^4 +X^3 -2X^2+4X-24 und Scheitelpunkt von F (X)= -3X^2 + 3X+36?

Question

1.Nullstellen berechnen?

G (x)=Xhoch4 +Xhoch3 -2Xhoch2+4X-24

F (X)=0,5Xhoch3 - 3,25Xhoch2 - 5,75X - 2

Ich komme leider nicht so weiter.

2.Scheitelpunkt  berechnen?

F (X)= -3Xhoch2 + 3X+36

Comments

F (X)= -3Xhoch2 + 3X+36

Über Umwandlung in die Scheitelpunktform oder Diff-Rechnung

f ( x ) = -3 * x^2 + 3 * x + 36
f ´( x ) = -6 * x + 3

-6 * x + 3 = 0
x = 0.5

f ( 0.5 ) = -3 * 0.5^2 + 3 * 0.5 + 36 = 36.75

S ( 0.5 | 36.75 )

a.)
Können über z.B. über das Newton-Verfahren bestimmt werden.

mfg Georg

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Hier noch den Berechnungsweg in mathematischer
Form.

Bei F (x)=0,5x³ - 3,25x² - 5,75x - 2 

Nullstelle
0,5x³ - 3,25x² - 5,75x - 2 = 0 | * 2
x^3 - 6.5 * x^2 - 11.5 * x - 4 = 0

Die erste Lösung x = -1  kann probiert oder
geraten werden.

Polynomdivision
( x^3 - 6.5 * x^2 - 11.5 * x - 4 ) : ( x + 1 ) = x^2 - 7.5 * x - 4

x^2 - 7.5 * x - 4 = 0

x = 8
x = -0.5

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Hinweis für interessierte Leser:

Für Nullstellen von Polynomen Grad 3 & Grad 4 sind (analog zur pq-Formel bei Grad 2) längst explizite Lösungsformeln bekannt: PQRST & PQRSTUVW -> ist aber kein Schulstoff!

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Answer 1

Sofern du einen graphikfäigen Taschnrechner besitzt, empfehle ich, diesen einzusetzen. Wenn du ohne dieses Werkzeug auskommen musst oder sollst, empfehle ich "erste Nullstelle raten". Bei G (x)=x⁴ +x³ -2x²+4x-24 kann x=2 geraten werden. Nach der Polynomdivision durch (x-2) bleibt ein Polynom dritten Grades stehen, dass eine Nullstelle bei x=-3 hat. Da man sich beim Raten meistens auf die Fälle -2, -1, 0, 1, 2 beschränkt, wird diese Nullstelle leicht übesehen. Dann bliebe ein Näherungsverfahren oder eine Cardanische Formel. Nach Abspaltung des Faktors (x+3) bleibt ein unzerlegbarer quadratischer Term stehen x²+4. Nullstellen sind also nur x=2 und x=-3.

Bei F (x)=0,5x³ - 3,25x² - 5,75x - 2 würde ich zunächst 1/4 ausklammern.Dann werden nämlich alle Koeffizienten ganzzahlig. Die erste Nullstelle x=-1 kann man auch hier raten. Polynomdivision durch (x+1) führt zu einem quadratischen Tem mit den Lösungen x=8 und x=-1/2.

Comments

Hallo Roland,

kleiner Fehlerhinweis

Bei F (x)=0,5x³ - 3,25x² - 5,75x - 2 würde ich zunächst 1/4 ausklammern.

sondern

Bei F (x)=0,5x³ - 3,25x² - 5,75x - 2 würde ich zunächst 1/2 ausklammern.

Die Ergebnisse sind richtig.

mfg Georg

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Inwiefern liegt hier ein Fehler vor?

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Hallo nn,

es liegt kein Fehler vor. Ich hatte zunächst angenommen Roland
wollte die 0.5 vor dem x^3 wegbringen. Dem ist aber nicht so.
Roland hat seine Vorgehensweise richtig beschrieben.

mfg Georg

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bei manche lass sich die nullstelle nicht raten-  wie hier: 4x³-4x+1. Ich habe mit 0,5 und -1 probiert,

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Ja stimmt. Es gibt Funktionen die keine ganzzahligen nullstellen besitzen.