Reihe auf absolute Konvergenz untersuchen konvergenzkriteriumm

Question

Könnte jemand mir ein Lösungsvorschlag mit Rechenweg machen? Danke

Comments

benutze dazu das Leibnizkriterium du musst zeigen, dass für $$ a_n := \frac { n+1 }{ 2^n } $$ gilt:

-a_n ≥ 0 für alle n

-a_n ist monoton fallend

-a_n ist eine Nullfolge

Wenn alle 3 Punkte zutreffen konvergiert die Fogle.

Das alles kannst du selber tun und schaffen, suche dir im Internet gute Beispiele heraus fürs zeigen der Monotonie etc. Falls du es nicht schaffst erstelle dir einen User und frag nochmal in den Kommentaren nach.

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a_n ≥ 0 für alle n

wie würde man das zeigen, formal aufgeschrieben?

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Hier reicht es ganz simple zu zeigen das Zähler und Nenner größer als 0 sind.

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bei der Monotonie habe ich noch Probleme

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Soll eine Folge monoton fallend sein, so muss  für alle Folgenglieder gelten:

a_n <=a_n+1

 a_n+1=

(n+2)/2^{n+1} =(n+2) / 2^n * 2 = (n/2 +1) / 2^n <= (n+1)/2^n = a_n   für alle n>=0

Damit wäre Monotonie gezeigt.

Answer 1

wenn du nur absolute Konvergenz untersuchen sollst, dann kannst du (-1)^n weglassen, der Rest ist immer positiv.

Dann kannst du das Quotientenkriterium anwenden.

$$ |\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }|=\frac { n+2 }{ n+1 }\frac { 2^n }{ { 2 }^{ n+1 } }=\frac { n+2 }{ n+1 }\frac { 1 }{ 2 }\to \frac { 1 }{ 2 }<1\\(n\to\infty) $$

Die Reihe konvergiert.

Comments

konvergiert die Reihe absolut?

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Ja, sie konvergiert absolut und auch die alternierende Reihe konvergiert.

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Die Reihe konvergiert insgesamt normal oder absolut?

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wie zeige ich am Ende dass die ganze Reihe absolut konvergiert?