Ableitung geteilte Funktion

Question

Ich habe die Funktion

f ( x ) = x^3 - 6 definiert für D = [ 2 ; ∞ [
die Ableitung ist
f ´( x ) = 3 * x^2

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 )
bzw
lim x −> 2(+) ?

Desweiteren habe ich die zusammengesetzte Funktion
mit den beiden Teilbereichen
x , x < 2
x^3 - 6,  x ≥ 2

Stimmen die Aussagen zur 1.Ableitung
linksseitiger Grenzwert  : lim x −> 2(-)  = 1
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+)  =  12

Kann die obengenannte Ableitung für x ≥ 2 verwendet
werden oder muß der Differentialquotient verwendet
werden ?

Stimmt die Aussage
linksseitiger Grenzwert  ≠ rechtsseitiger Grenzwert
die Ableitung ist nicht stetig ?

Wer sich den ganzen Wirrwarr anschauen will

https://www.mathelounge.de/409677/zeige-dass-eine-funktion-stetig-aber-nicht-differenzierbar?show=409736#c409736

Ist aber nicht unbedingt nötig.

Answer 1

für die Funktion f(x)=x^3-6, D=[2,∞)

die Ableitung f'(x)=3x^2 gilt nicht für x=2, da dort der linksseitige Grenzwert des Differenzen -quotienten gar nicht existiert. Schließlich gibt es "links" von x=2 keine Funktionswerte.

Im allgememeinen muss immer der Differentialquotient  genommen werden, um auf Differenzierbarkeit zu überprüfen, auch bei stückweise definierten funktionen.

Comments

dann gilt also

f ( x ) = x³ - 6, D = [ 2,∞ [
f ´ ( x ) = 3 * x² , D = ] 2,∞ [

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 )  ( geklärt )

Wie schaut es jetzt aus für den Punkt einen Tick
nach rechts ?

lim x −> 2(+) ?

Dieser hat 2 Nachbarpunkte links und rechts die
sich auf der Funktion befinden.
Hier müßte es zulässig sein die 1.Ableitung
zu nehmen.

Besten Dank schon einmal
Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

---

Ja für x>2 ist die Ableitungsfunktion f'(x)=3x^2 zulässig, weil dort links und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten  existieren und gleich sind.

Answer 2

Ich habe die Funktion  f ( x ) = x³ - 6  definiert für D = [ 2 ; ∞ [
die Ableitung ist   f ´( x ) = 3 * x²   definiert für   D_{f '} = ] 2 ; ∞ [

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 )    bzw    lim x −> 2(+) ?
Die Schreibweise  lim x −> 2(+)  ist sinnleer  (vergleichbar mit  Σ [i=1 bis 20] ),
weil nicht angegeben wird, von was denn der Grenzwert genommen werden soll.
Richtig ist (natürlich), dass  lim_x→2+ f '(x) = 12  ist, dies ist aber nicht f '(2),
und ich würde es auch nicht als Steigung von f im Punkt (2 | 2) ansehen.

Desweiteren habe ich die zusammengesetzte Funktion
mit den beiden Teilbereichen
x , x < 2
x³ - 6,  x ≥ 2
Stimmen die Aussagen zur 1.Ableitung
linksseitiger Grenzwert  : lim x −> 2(-)  = 1
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+)  =  12
Es gilt das gleiche zur Schreibweise, wie schon oben angeführt.
Die Aussage   lim_x→2- f '(x) = 1  ist richtig.

Kann die obengenannte Ableitung für x ≥ 2 verwendet
werden oder muß der Differentialquotient verwendet
werden ?
Das ist wieder so eine sinnlose Formulierung. Es muss doch dazu gesagt werden,
für was denn verwendet werden soll. Um f '(3) zu berechnen kann der oben berechnete
Term für f ' benutzt werden, zur Berechnung von f '(2) taugt er nicht,
weil nämlich f '(2) nicht der Grenzwert von f ' für x→2 ist, sondern (sofern existent) der
Grenzwert  (und zwar weder der linksseitige noch der rechtsseitige sondern der Grenzwert)
lim_x→2 ( f(x) - f(2) ) / (x - 2) !
Um die Funktion f auf Differenzierbarkeit an der Stelle 2 zu testen muss also
dieser Grenzwert untersucht werden. Die Formulierung "Differentialquotient verwenden "
ist insofern unpassend, als damit eben dieser Grenzwert bezeichnet wird,
der im vorliegenden Fall gar nicht existiert.

Stimmt die Aussage
linksseitiger Grenzwert  ≠ rechtsseitiger Grenzwert
die Ableitung ist nicht stetig ?
Falls mit "Grenzwert" gemeint ist "Grenzwert von f ' ", dann lautet die Antwort "ja".

Answer 3

Richtig wäre:  Differentialqoutient an der Stelle 2 untersuchen
und feststellen:    Abl. ex. nicht.


Dein Argument heißt nur:  Abl. selbst ist nicht stetig,

es gibt aber an einer Stelle diffb. Funktionenen, deren Abl. dort

nicht stetig ist.

Comments

Hallo mathef,

mit deiner Antwort kann ich leider nichts anfangen.

Ich wäre dir sehr verbunden falls du meine gestellten
Fragen einzeln beantworten würdest..

---

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 )

Die gibt es nicht, denn wenn du den Differentialquotienten an dieser
Stelle zu bilden versuchst, etwa also Grenzwert für h gegen 0 von

(  f(x+h) - f(x) ) / hzeigt sich, dass das Ergebnis von der Wahl der Nullfolge für h abhängt.

Für Folgen mit h>0 bekommst du  12  und für

welche mit h < 0  bekommst du  1.

Also existiert "der Grenzwert" für h gegen 0 an dieser Stelle nicht,also f dort nicht diffb.,  also existiert auch keine Steigung in diesem Punkt.

Stimmen die Aussagen zur 1.Ableitung
linksseitiger Grenzwert  : lim x −> 2(-)  = 1
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+)  =  12            Ja!

Kann die obengenannte Ableitung für x ≥ 2 verwendet
werden    Nein !
oder muß der Differentialquotient verwendet
werden ?     Er existiert an der Stelle nicht.

Stimmt die Aussage
linksseitiger Grenzwert  ≠ rechtsseitiger Grenzwert
die Ableitung ist nicht stetig ? Ja, sie ist dort nicht einmal definiert. Ist wohl eher eine philosophische Frage, ob etwas, das nicht existierteine Eigenschaft (stetig) haben kann oder nicht. Also eher nicht.

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Ich habe früher schon einmal gefragt ohne eine Antwort bekommen zu haben, vielleicht weiß es heute jemand :

Ist von Folgendem irgendetwas richtig :

(1)  Für eine stetige Funktion f gilt : 
     Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte
       lim_x→a- f '(x)  und  lim_x→a+ f '(x)  in ℝ existieren und gleich sind
       ( lim_x→a- f '(x)  =  lim_x→a+ f '(x)  =  g ) , 
     dann ist f an der Stelle a differenzierbar
       und es ist  f '(a) = g

(2)  Für eine Funktion f gilt : 
     Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte
       lim_x→a- f '(x)  und  lim_x→a+ f '(x)  in ℝ existieren aber nicht gleich sind
       ( lim_x→a- f '(x)  ≠  lim_x→a+ f '(x)  ) , 
     dann ist f an der Stelle a nicht differenzierbar

Answer 4

Selbstverständlich ist die Ableitung der zusammengesetzen Funktion an der Stelle x=2 nicht stetig. Mir ist auch nicht ganz klar, was der Unterschied zwischen "Ableitung" und "Diffrentialquotient" ist.

Comments

Hallo Roland,

ich kann die Steigung berechnen über
den Differentialquotienten
[ f ( x + h ) - f ( x ) ] / h

oder z.B. bei
f ( x ) = x^3
über die Anwendung der Potenzregel

Wenn zulässig ist diese Ableitungsmöglichkeit
mit weniger Arbeit verbunden.

---

ich bin der (möglicherweise falschen) Meinung, dass die Ableitung ebenso, wie der Grenzwert des Differenzenquotienten auch Differenzialquotient genannt werden kann. Die Antwort von Lu habe ich nicht gelesen, aber ich bin sicher, dass sich das lohnt.

Answer 5

Bitte keine Fragen doppelt einstellen und Verweise auf vorhandene ungeklärte Fragen sind auch ungern gesehen, da die ungeklärten Fragen dann weiterhin Arbeit verursachen.

Sprich nicht von "geteilten" Funktionen. Du meinst vielleicht stückweise definierte Funktionen. Oder auch Funktionen mit einem ungewohnt stark eingeschränkten Definitionsbereich.

Geh im Zweifelsfall immer zurück zur Definition von Ableitung / Stetigkeit...(Es werden nur x-Werte zugelassen, die in D liegen)

 Verwende aber auch dein Wissen, dass Polynomfunktionen auf ganz R stetig differenzierbar sind. Das erleichtert den Umgang mit den "Randpunkten" der stückweise definierten Funktionen.

Ich habe die Funktion

f ( x ) = x³ - 6 definiert für D = [ 2 ; ∞ [   Eingeschränkter Definitionsbereich.
die Ableitung ist 
f ´( x ) = 3 * x²

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 ) 
bzw 
lim x −> 2(+) f'(x) ?

Setze einfach x=2 ein. x=2 liegt ja in D. 

Desweiteren habe ich die zusammengesetzte Funktion 
mit den beiden Teilbereichen 
g(x):= x , x < 2 , 

g'(x) = 1, x<2
g(x)= x³ - 6,  x ≥ 2 

g'(x) = 3x^2 , x≥2

Stimmen die Aussagen zur 1.Ableitung 
linksseitiger Grenzwert  : lim x −> 2(-) g'(x) = 1       ja
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+) g'(x)  = 3*4=  12  ja

Kann die obengenannte Ableitung für x ≥ 2 verwendet 
werden (ich habe ergänzt, was zu verwenden ist, du warst zu ungenau) oder muß der Differentialquotient verwendet 
werden (ist unnötig) ?

Stimmt die Aussage 
linksseitiger Grenzwert der Ableitung von g in x=2 ≠ rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung von g in x=2
die Ableitung  ist nicht stetig in x=2 ? Eigentlich interessiert wohl: g ist nicht differenzierbar in x=2, überall sonst allerdings schon. 

Comments

Bitte keine Fragen doppelt einstellen und Verweise auf vorhandene ungeklärte Fragen sind auch ungern gesehen, da die ungeklärten Fragen dann weiterhin Arbeit verursachen

Meine Fragen gehen deutlich über die Fragen im Link hinaus.

Die im Link gestellte Frage hat bereits 3 Antworten und ist
somit geklärt.

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Sprich nicht von "geteilten" Funktionen.
Du meinst vielleicht stückweise definierte Funktionen.
( Mit dieser Vermutung hast du recht )

Man könnte auch als 3.Variante von
" gesplittete Funktion ". sprechen.
( habe ich auch schon gesehen )
Oder die 4.Variante
" zusammengesetzte Funktion ".

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 ) 
bzw 
lim x −> 2(+) f ' (x) ?

Setze einfach x=2 ein. x=2 liegt ja in D.

Leider Lu sind nicht alle deiner Anischt.
Siehe Antwort jc2144 .

---

Wie ist die Steigung im Punkt ( 2 | 2 )  
bzw  
lim x −> 2(+) f ' (x) ?

Setze einfach x=2 ein. x=2 liegt ja in D. 

Leider Lu sind nicht alle deiner Anischt. 
Siehe Antwort jc2144 . 

Klar. Habe ich gesehen. Das hat nichts mit Ansicht zu tun, sondern mit der Definition. Gemäss der Definition in Wikipedia, muss es um xo ein offenes Intervall geben, das im Definitionsbereich liegt. Das ist bei f mit D = [2,∞) für x0=2 klar nicht der Fall. https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Differenzierbarkeit