lim x gegen 0, sin(x)/x=1

Question

Dies soll mit Hilfe der Potenzreihe vom Sinus gezeigt werden.
Ich habe mir dies bereits mit der Potenzreihe aufgeschrieben, komme aber nicht weiter.
Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Nun - wenn Du das bereits mit der Potenzreihe des Sinus geschrieben hast, so sollte das Ergebnis offensichtlich sein. Die Potenzreihe ist $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...$$ Demnach ist $$\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac {x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...}{x}\\=\lim_{x \to 0} 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + ... = ?$$ und nun kannst Du einfach für \(x\) den Wert 0 einsetzen und erhältst $$=1$$ Gruß Werner

Comments

Vielleicht besteht die Aufgabe gerade darin, zu zeigen, dass man die Reihenfolge der beiden Grenzwertbildungen vertauschen darf.

Answer 2

$$ sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n *\frac { x^{2n+1} }{ (2n+1 )!} }$$
$$ = x +  \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n *\frac { x^{2n+1} }{ (2n+1 )!} }$$

Wenn du jetzt alles durch x teilst, wird aus dem 1. Summand eine 1 und aus der

Summe etwas, das gegen 0 geht, nämlich

$$  \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n *\frac { x^{2n} }{ (2n+1 )!} }$$