Berechnen Sie (1 + j)^5 und (2 − j)^5

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Berechnen Sie (1 + j)^5 und (2 − j)^5 auf geeignete Weise. 

Aber was ist eine geeignete Weise?

Answer 1

(1+j)² = 1 + 2j - 1 = 2j

also     (1+j)⁴   =  -4   

  (1+j)⁵   =  -4  * ( 1+j)  =   -4 - 4j

 

Comments

Ok nach diesen Prinzip  habe ich probiert den zweiten Teil zu berechnen.
(2 - j)^2 = 4 - 2j - 2j - j^2 = 3 - 4j
(3 - 4j)^2 = 9 - 12j -12j -16j^2 = -7 - 24j
(-7 - 24j) * (2 - j) = -14 + 7j - 48j +24j^2 = -38 - 41j
 Ist das so richtig?

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Du hast einen doppelten Fehler gemacht und zwar so, dass sie sich gegenseitig wegheben. Nicht schlecht haha.

(2 - j)² = 4 - 2j - 2j + j² = 3 - 4j    (Es ist ja (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)

Und wegen j^2 = -1 haben wir dann in der Tat 4-1 = 3

Der "doppelte Fehler" tritt auch in der Folgezeile auf.

Ups: Grad bemerkt, dass die Frage an mathef gerichtet war. Beantwortet sie trotzdem :D.

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Danke :)

Auf meinem Schmierblatt war es richtig :D

Answer 2

Hi,

ich würde sagen eine "geeignete Weise" ist eine die Dich zum Ziel führt.

Du könntest das bspw in Exponentialform ausdrücken. Persönlich umgehe ich das aber gerne und splitte es lieber auf:

(1+i)^5 = (1+i)^2(1+i)^2(1+i)

N.R.:

(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i

Also:

(1+i)^2(1+i)^2(1+i) = 2i*2i*(1+i) = -4(1+i) = -4-4i

(2-i)^5 = -38-41i

Vorgehen wie zuvor.

Grüße

Answer 3

Geeignet finde ich einen Rückgriff auf die 5.Zeile des pascalschen Dreiecks: 1  5  10  10  5  1

Dann ist (1+j)⁵= 1+5j+10j²+10j³+5j⁴+1·j⁵ 

und (2-j)⁵= 1·2⁵-5·2⁴·j+10·2³·j^2-10·2²·j³+5·2·j⁴-1·j⁵=32-80j+80j²-40j³+10j⁴-j⁵.

Comments

Sollte j dagegen die imaginäre Zahl i sein, sind die anderen Lösungen geeignter.

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Wieso? Du musst nur noch weiterrechnen und es passt ebenfalls ;).

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Unknown, nett, dass du meine Lösung nicht zu blöd findest. Aber ich bleibe dabei: Wenn j die imaginäre Zahl i sein soll, geht es eleganter, als mein umständlicher Lösungsweg.

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Man könnte (warum?) die Exponenten modulo 4 vereinfachen und die Summanden zusammenfassen...