Gegeben sind die Funktionen
f(x)=e0,5x und
g(x)=e1,5−0,25xb) Bestimmen sie die Ableitungen von f und g.
f′(x)=e0,5x⋅0,5
g′(x)=e1,5−0,25x⋅(−0,25)
c) Wo schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? Wie groß ist ihr Schnittwinkel?
e0,5x=e1,5−0,25x Gleichsetzen der Exponenten:
0,5x=1,5−0,25x
x=2 f(2)=e1=e≈2,72 B(2∣e)
f′(2)=0,5e=m1
g′(2)=e1,5−0,5⋅(−0,25)=−0,25e=m2
tan(α)=∣1+m1m2m2−m1∣=∣1+0,5e⋅(−0,25e)−0,25−0,5e∣=∣1−81e2−0,25−0,5e∣≈∣−21,41∣=21,41
α=tan−1(21,41)≈87,85°
d) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f als Tangente. Wo liegt der Berührungspunkt von f und h? Wie lautet die Gleichung von h?
p(x)=m(x)⋅x mit m(x)=f′(x)=e0,5x⋅0,5
p(x)=e0,5x⋅0,5x Diese Funktion schneidet f(x) im Berührpunkt:
e0,5x=e0,5x⋅0,5x
e0,5x−e0,5x⋅0,5x=0
e0,5x(1−0,5x)=0 mit e0,5x=0
Berührpunkt: x=2 f(2)=e
Tangente:
xy=f′(2)=0,5e
h(x)=0,5ex
e) Wie groß ist die Fläche A, welche von f und g und der y-Achse umschlossen wird?
to be continued