Guten Morgen theq,
bei solchen Aufgaben berechnest Du am besten ein paar Ableitungen und versuchst daraus einen allgemeinen Zusammenhang zu konstruieren.
Pro Ableitung kommt immer "eine 2" zum Koeffizienten des Subtrahenden hinzu. Beachte, dass diese allgemeine Ableitungsgleichung für $$n\geq1\text{ und }n\in\mathbb{N}$$ gilt.
Viel Erfolg bei der vollständigen Induktion!
Grüße
André, savest8
$$ f(x)=(e^x-k)^2\\f'(x)=2e^x(e^x-k)=2({ e }^{ 2x }-ke^x)\\f''(x)=2(2{ e }^{ 2x }-ke^x)\\f'''(x)=2(4{ e }^{ 2x }-ke^x)\\{ f }^{ (n) }(x)=2({ 2 }^{ n-1 }{ e }^{ 2x }-ke^x), n\geq1 $$
f(x) = (ex - k)2 = e2x - 2·k·ex + k2
f '(x) = 2·e2x - 2·k·ex
f ''(x) = 4·e2x - 2·k·ex
Beh.: f(n)(x) = 2n·e2x - 2·k·ex für alle n ∈ ℕ
Nachweis mit vollständiger Induktion:
n = 1: wahr für f ' = f(1)
n → n+1:
f(n+1) (x) = ( f(n) ) ' (x) = 2n · 2 · e2x - 2·k·ex = 2n+1· e2x - 2·k·ex
Gruß Wolfgang
Die Induktion brauche ich gar nicht, die will ich selbst machen. Mir ging es nur um die Gleichung. Trotzdem danke:-)
f(x) = (e^x - k)^2 = e^{2·x} - 2·k·e^x + k^2
f'(x) = 2·e^{2·x} - 2·k·e^x
f''(x) = 2·2·e^{2·x} - 2·k·e^x
f'''(x) = 2·2·2·e^{2·x} - 2·k·e^x
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos