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Hallo. Gesucht ist die Umkehrfunktion von: y=1/sqrt(1+x^2).

Ich habe das jetzt schon 2x probiert:

Zuerst den Bruch und Wurzel durch Potenz ^{-1/2} aufgelöst, da bin ich schnell stecken geblieben.

2. Versuch: ausmultiplizieren des Nenners, um die wurzel los zu werden müsste ich ja noch einmal mit dem Nenner multiplizieren, dabei erscheint wieder eine wurzel usw..

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Was soll denn der Definitionsbereich der Funktion sein?

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y=1/(√1+x^2) |(...)^2 ->nach x auflösen

y^2= 1/(1+x^2) | *(1+x^2)

y^2  *(1+x^2) =1 |:y^2

1+x^2 = 1/y^2 |-1

x^2=(1/y^2) -1

x= ± √((1/y^2) -1)

->x und y vertauschen

y= ± √((1/x^2) -1)

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Seit wann haben Funktionen zwei Umkehrfunktionen?

(vgl. meine Antwort)

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 y=1/ √ (1+x2).

x =1/ √ (1+y2 ).
√ ( 1 + y2 ).= 1 / x
1 + y^2 = 1 / x^2
y^2 = 1 / x^2 - 1
y = ± √ ( 1 / x^2 - 1 )

mfg Georg

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~plot~ 1 / sqrt(1+x^2) ~plot~  

Also ist eine Umkehrfunktion etwa nur für 0 < y ≤ 1 definiert.

y  =   1 / sqrt(1+x2)     quadrieren

y2 =   1 / (1+x2)   


  (1+x2)    =   1 / y2

  x2    =    - 1  +   1 / y2  

x = √  (   - 1  +   1 / y2   )



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da x nur mit geradem Exponent vorkommt und f in Dmax = ℝ definiert ist, kann man den Verlauf des Graphen von f aus A2 mit der Wertemenge  ] 0 ; 1 [  einfach begründen, wenn man gedanklich alle x-Werte aus ℝ0+ einsetzt. Auch das Steigungsverhalten ergibt sich direkt aus diesen Überlegungen.

 f: ℝ → ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x2) hat die Monotonieintervalle:

 ] - ∞ ; 0 ]  (streng monoton steigend)    und  [ 0 ; ∞ [   (streng monoton fallend)

 und ist deshalb nicht injektiv, hat also keine Umkehrfunktion.

Die beiden eingeschränkten Funktionen

f1: ℝ0+ → ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x2   und   f2: ℝ0-→ ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x2)  

haben jedoch Umkehrfunktionen  f1-1: ] 0 ; 1[  → ℝ0+  und  f2-1: ] 0 ; 1[  → ℝ0-

deren Funktionsvorschriften ergeben sich aus: 

y = 1 / √(1+x2

Vertauschen der Variablennamen und Auflösen nach y  ergibt

x = 1 / √(1+y2)  ⇔ x * √(1+y2) = 1 ⇔ √(1+y2) = 1/x     (x≠0)

⇔  1+y2 = 1/ x2  ⇔  y2 =  1/ x2 - 1  ⇔  y = ± √(1/x2 - 1)      ( x ∈ ] 0 ; 1[ )

Also:

f1-1: ] 0 ; 1[  → ℝ0+ ;  x  ↦  √(1/x2 - 1)    bzw.   f2-1: ] 0 ; 1[  → ℝ0- ;  x  ↦  - √(1/x2 - 1)  

Gruß Wolfgang

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Gefragt 21 Sep 2020 von Ates

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