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1. Für welche Zahl ist das Produkt mit einer um 4 kleineren Zahl am kleinsten? Gib das Minimum an.


2. Für welche Zahl ist das Produkt aus der Hälfte der Zahl und der um 10 vergrößerten Zahl am kleinsten? Gib das Minimum an.


Wie löst man diese Aufgaben?

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2 Antworten

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 a) f(x)=x*(x-4)=x^2-4x

f'(x)=2x-4=0 (für Extremstelle)

-> x=2 ( f(2)=-4)

b) f(x)=x/2*(x-10)=x^2/2 -5x

f'(x)=x-5=0

x=5 (f(5)=-12.5)

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Zu 1) Wir nennen die gesuchte Zahl x. Dann heißt die um 4 kleinere Zahl x-4 und das Produkt P aus Zahl und um 4 kleinerer Zahl P=x·(x-4) =x2-4x. Dies ist die Gleichung einer quadratischen Parabel mit den Nullstellen x1=0 und x2=4. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes (tiefster Punkt) liegt in der Mitte dieser Stellen, nämlich bei xs=2. Für x=2 ist P=2·(-2)=-4. dies ist der Wert des Minimums.

Zu 2) Wir nennen die gesuchte Zahl x. Dann heißt die Hälfte der Zahl x/2 und die um 10 vergrößerte Zahl x+10. Das Produkt P dieser Zahlen lautet dann  P=x/2·(x+10) =x2/2+5x. Dies ist die Gleichung einer quadratischen Parabel mit den Nullstellen x1=0 und x2=-10. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes (tiefster Punkt) liegt in der Mitte dieser Stellen, nämlich bei xs=-5. Für x=-5 ist P=-5/2·(-5+10)=-25/2 dies ist der Wert des Minimums.

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