0 Daumen
442 Aufrufe

Ich habe zwei ganz e Fragen/Aufgaben zum Thema Extremwertprobleme. 

1. Welche senkrechte Säule mit quadratischer Grundfläche und dem Rauminhalt von 8 dm^3 hat die kleinste Oberfläche?

2. Ein zylinderförmiger Behälter soll 5 L. Fassungsvermögen haben. Wie müssen Radius und Höhe gewählt werden, damit die Oberfläche minimal ist? 


Ich verstehe überhaupt nicht wie ich das berechnen soll. Wäre nett, wenn mir jemand das Ganze so leicht wie möglich erklären könnte. 

Danke! :) 

von

2 Antworten

0 Daumen

1. Welche senkrechte Säule mit quadratischer Grundfläche und dem Rauminhalt von 8 dm3 hat die kleinste Oberfläche?

V = a^2·h --> h = V/a^2

O = 2·a^2 + 4·a·h = 2·a^2 + 4·a·(v/a^2) = 2·a^2 + 4·V/a

O' = 4·a - 4·V/a^2 = 0 --> a = V^{1/3}

Damit ist die Säule ein Würfel.

von 391 k 🚀
0 Daumen

Als erstes stellst du die Zielfunktion auf. Die lautet für den Oberflächeninhalt

O(x) = 2x2+4ah

x ist die Seitenlänge des Quadrats und h die Höhe.

Dann stellst du die beiden Variablen in Bezug zueinander:

Grundfläche mal Höhe = Volumen, also

x2*h = 8  Diese Gleichung löst du nach x oder h auf, ich habe nach h aufgelöst:

h = 8/x2

Das setzt du in die Zielfunktion ein:

O(x) = 2x2+4a*8/x2

Wenn du diesen term vereinfachst, de erste Ableitung bildest, diese gleich null setzt nach x auflöst, erhältst du als Ergebnis 2.

von 24 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community