Zeigen Sie das ^B eine geordnete Basis ist, das a eine lineare Abb. ist, Berechnung Abbildungsmatrix M(a,^B,^B)

Question

Könnt ihr mir Bitte helfen? ^^

Answer 1

A) die 4 sind linear unabh, weil

a*M1 + b*M2 + c*M3 + d*M4 = 0 führt auf

a-b=0  und -b+c=0 und c=0 und d=0

also a=b=c=d=0

und je 4 lin. unabhängige Matrizen  bilden eine Basis von V.

b)  Mit  M =

a b
c d

und  N =
u v
r  s

gilt    (M+N) ^α =

a+u    b+v      * A
c+r    d+s

=

2(a+u)         - (a+u) + (b+v)
2(c+r)          - (c+r)  + (d+s))

=

2a     -a+b           +           2u     -u+v
2c     -(c+r)                       2r      -r+s

= M^α  +  N^α   

entsprechend zeigt man auch für alle x aus IR 

 (x*M) ^α =   x*(M) ^α  

c) M1*A =
2   -2
0   0

M2*A =
-2  1
0   0

M3*A=
0  1
2 -1

M4*A=

0  0
0  1

In der 1. Spalte der Abbildungsmatrix stehen die Koeffizienten, die
man zur Darstellung des Bildes von M1 mit der Basis braucht. Die
Darstellung ist

2*M1 + 0*M2 + 0*M3 + 0*M4 .

In der 2. Spalte der Abbildungsmatrix stehen die Koeffizienten, die
man zur Darstellung des Bildes von M2 mit der Basis braucht. Die
Darstellung ist

-1*M1 + 1*M2 + 0*M3 + 0*M4 .

etc.  Also ist die Matrix

2     -1     ?      ?
0      1      ?      ? 
0      0     ?      ?
0      0     ?      ?.