Ich lerne gerade für eine Klausur und bin über dieses Beispiel gestolpert. Ich weiß wie das Charakteristische Polynom aussieht jedoch habe ich keine Idee, wie ich hier anfangen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Sebastian
Es gilt
χM(λ)=det(λE−M)=det[λE−(A1B0A2)]=det[(λE−A1B0λE−A2)]=det(λE−A1)⋅det(λE−A2)=χA1(λ)⋅χA2(λ) \chi_M(\lambda) = \det( \lambda E - M) = \det \left[ \lambda E - \begin{pmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} \right] = \\ \det \left[ \begin{pmatrix} \lambda E - A_1 & B \\ 0 & \lambda E - A_2 \end{pmatrix} \right] = \det ( \lambda E - A_1 ) \cdot \det ( \lambda E - A_2 ) = \\ \chi_{A_1}(\lambda) \cdot \chi_{A_2}(\lambda) χM(λ)=det(λE−M)=det[λE−(A10BA2)]=det[(λE−A10BλE−A2)]=det(λE−A1)⋅det(λE−A2)=χA1(λ)⋅χA2(λ)
wieso darf man das im letzten Schritt auseinander ziehen?
Der vorletzte Schritt war als Tipp gegeben und der letzte Schritt ist die Definition des characteristischen Polynoms.
Den vorletzten Schritt verstehe ich ehrlich gesagt auch nicht.
Kann man das anhand irgendeiner Definition oder eines Satzes begrünen?
Aber das kann doch als gegeben angenommen werden. Die Determinate einer Blockdiagonalmatrix ist das Produkt der Determinaten der Matrizen auf der Diagonale. Zum Beweis dafür siehe hier
https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2584
Ist damit alles klar?
In Abschnitt Blockmatrizen
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen heisst das
"verallgemeinerter Entwicklungssatz" .
Ein anderes Problem?
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