Untersuchen in welchem Verhältnis sich zwei Seitenhalbierende im Dreieck teilen.

Question

leider fällt mir das "Rechnen" mit Buchstaben schwer und habe keine Idee, was ich damit anfangen soll.. kann mir bitte jemand helfen und es mir ausrechnen? Es handelt sich um die Nr.5

Comments

Hallo Niki,

diese Aufgabe hast Du doch schon selber (fast) gelöst - siehe https://www.mathelounge.de/439463/vektoren-schwerpunkt-dreieck-geschlossener-streckenzug

Was hast Du für die Werte \(\alpha\) und \(\beta\) heraus bekommen? Und was genau ist Dein Problem?

Gruß Werner

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Ich weiß nicht wie ich den Ortsvektor OS des Schnittpunktes S als Linearkombination von OA, OB & OC angeben soll :-( ich verstehe das gar nicht. Könntest du mir darin helfen & es mir ausführen mit Erklärungen? Wäre toll vielen Dank LG

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Was ich noch hinzufügen wollte, der vektor CB , da habe ich geschrieben wo ich SA = alpha(1/2CB-b) stehen hatte , nicht -1/2CB , wobei ich jetzt doch sagen würde, dass es Minus sein müsste, da man doch runter geht oder?

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Du fragst: "Was ich noch hinzufügen wollte, der vektor CB , da habe ich geschrieben wo ich SA = alpha(1/2CB-b) stehen hatte , nicht -1/2CB , wobei ich jetzt doch sagen würde, dass es Minus sein müsste, da man doch runter geht oder?"

Es spielt keine Rolle ob Du 'runter' oder 'rauf', sondern nur ob Du in Richtung eines Vektors oder gegen seine Richtung gehst. \(\vec{CB}\) ist der Vektor von \(C\) nach \(B\) und wenn Du von \(M\) nach \(B\) marschierst, so läufst Du in Richtung des Vektors - also positiv. \(\vec{SA}=\alpha(\frac{1}{2}\vec{CB}-\vec{b})\) das war richtig.

Ich antworte gleich auf Deine Frage ...

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Ja stimmt , klingt logisch , dankeschön , habe jetzt 6-7 Stunden Mathe am Stück gemacht, daher bin ich etwas durcheinander.:D Und das wäre super, wenn du mir das noch erklären könntest. :-)

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Also das habe ich für alpha raus (falls es stimmt) also wegen deiner Frage eben 

Answer 1

Eine Linearkombination bedeutet, einen Vektor - hier \(\vec{OS}\) als eine Summe von anderen Vektoren darzustellen, wobei jeder der anderen mit einem Faktor multipliziert wird. In diesem Fall

$$\vec{OS}=x\cdot \vec{OA} + y\cdot \vec{OB} + z\cdot \vec{OC}$$

\(x\), \(y\) und \(z\) sind die Faktoren, mit denen die Vektoren multipliziert werden. Und nach denen ist gefragt. ich nehme jetzt mal das Ergebnis vorweg. Du solltest bereits heraus bekommen haben, dass \(\vec{AS}=\frac{1}{3} (\vec{a}+\vec{b})\) ist, wenn \(\vec{a}=\vec{AB}\) und \(\vec{b}=\vec{AC}\) sein soll, wie beim letzten Mal.

Und jedes Seite im Dreieck ist die Differenz der beiden Ortsvektoren der begrenzenden Ecken - also ist

$$\vec{a}=\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA} \quad \text{und} \space \vec{b}=\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$$

Und der Ortsvektor zum Schwerpunkt \(S\) ist \(\vec{OS}=\vec{OA}+\vec{AS}\). Und noch ein Bild zur Orientierung:

Jetzt muss man das nur noch einsetzen:

$$\vec{OS}=\vec{OA}+\vec{AS}=\vec{OA}+\frac{1}{3} (\vec{a}+\vec{b})=\vec{OA}+\frac{1}{3} (\vec{OC}-\vec{OA}+\vec{OB}-\vec{OA})$$

$$\space =\vec{OA}+\frac{1}{3} \vec{OC}-\frac{1}{3} \vec{OA}+\frac{1}{3} \vec{OB}-\frac{1}{3} \vec{OA}=\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}  \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OC}$$

Falls Dir nicht klar ist, wie ich auf \(\vec{AS}=\frac{1}{3} (\vec{a}+\vec{b})\) komme, oder noch was anderes unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Mühe!! :-) also ich komme nicht drauf, wie du auf AS= 1/3(a+b)  gekommen bist :-/

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Hat es was mit dem Ergebnis zu tun? Ich glaube ja oder? Ich komme aber nicht drauf :-/

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Du hast doch die Werte für \(\alpha\) und \(\beta\) heraus bekommen. Die musst Du nur in Deine Gleichungen, die schon vorliegen einsetzen. Dort steht

$$\vec{SA}=\beta \vec{MA}=\beta (\frac{1}{2}\vec{CB}-\vec{b})=\beta(\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b})-\vec{b})$$

Daraus folgt

$$\vec{SA}=\beta\left( -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\right)$$

Jetzt ist aber \(\vec{AS}=-\vec{SA}\) - demnach ist

$$\vec{AS}=-\beta\left( -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\right)=\frac{1}{2}\beta\left( \vec{a}+\vec{b}\right)$$

und \(\beta\) und \(\alpha\) waren doch \(\frac{2}{3}\) - also

$$\vec{AS}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left( \vec{a}+\vec{b}\right)=\frac{1}{3}\left( \vec{a}+\vec{b}\right)$$

Hier noch mal ein Bild

Der Vektor \(\vec{AA_2}\) ist gleich \(\vec{a}+\vec{b}\). Der Punkt \(M\) liegt genau in der Mitte - also \(\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und die gelbe, rote und grüne Strecke ist jeweils gleich lang. Demnach ist

$$\vec{AS}=\frac{1}{3}\left( \vec{a}+\vec{b}\right)$$

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Danke sehr, aber wie komme ich auf AS = -SA ?

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Oh - mit der Frage hätte ich nicht gerechnet. Wie soll ich das erklären ...

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. Ein Vektor \(\vec{AB}\) also ein Vektor von \(A\) nach \(B\) kann auch als eine Verschiebung von \(A\) nach \(B\) interpretiert werden. Und umgekehrt genauso - einen Verschiebung von \(B\) nach \(A\) sei der Vektor \(\vec{BA}\). Es liegt doch auf der Hand, dass bei der Addition von beiden Verschiebungen - also einmal von \(A\) nach \(B\) und dann von \(B\) nach \(A\) keine Verschiebung raus kommt. Man spricht in diesem Fall vom Nullvektor. In Symbolen:

$$\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{0}$$

Jetzt ziehe auf beiden Seiten \(\vec{BA}\) ab - und erhalte

$$\vec{AB}=\vec{0}-\vec{BA}$$

... und die 0 kann man jetzt auch wie beim 'normalen' Rechnen weglassen:

$$\vec{AB}=-\vec{BA}$$

Das gilt natürlich für jeden Vektor - ganz allgemein

$$\vec{XY}=-\vec{YX}$$