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In einer Fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt soll 3 m² betragen. Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Blechverbrauch minimiert werden soll?

blob.png

Es handelt sich um diese Textaufgabe. Ich verstehe die Aufgabe an sich nicht einmal. Der Gesamtquerschnitt soll 3m² betragen. Was ist ein Gesamtquerschnitt denn überhaupt und wie würde der in diesem Falle aussehen?

von

Bild Mathematik

Also ich habe erneut eine Frage zu dieser Aufgabe. Im letzten Abschnitt der Textaufgabe wird Folgendes gefragt: "Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Blechverbrauch minimiert werden soll?". Ich verstehe die Frage nicht und was gefordert wird. Die Gesamtfläche muss ja 3m^2 betragen. Also darf man ja nichts minimieren lassen. Entsprechend muss man dann x und y wählen, damit sie 3m^2 ergeben. Ich bin so verwirrt und weiß überhaupt nicht, was gewollt ist. Der Blechverbrauch ist doch gleich die Fläche, oder? Irgendjemand soll mir bitte einfach die Frage erklären, danke.

Nein, in der ersten Frage wollte ich erst einmal wissen, was ein Gesamtquerschnitt ist.

In dieser Frage ging es mit darum, was bei dieser Textaufgabe mit der Frage am Ende gewollt ist und was mit minimalem Blechverbrauch gemeint ist. Großer Unterschied. Nur weil beide Fragen das gleiche Bild haben, macht es sie nicht gleich.

Vom Duplikat:

Titel: Anwendung der Differenzialrechnung

Stichworte: differentialrechnung

Aufgabe:

In einer fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt soll 3m2 betragen. Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Blechverbrauch minimiert werden soll?  

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das Minimum?

Gehört dieses Bild zur Aufgabe?

blob.png

@larry: Danke. Das nächste Mal bitte nicht nur 441418 sondern einen vollständigen Link angeben. Ich brauche zum Schliessen / Umleiten der Frage den ganzen Link.

6 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Bild Mathematik

Die beiden Röhren sind nebeneinander an der Decke befestigt.

Ich habe hingeschrieben, wo Luft ist.

Für die Zeichnung wurden die rechteckigen Röhren aufgeschnitten.

Der Querschnitt ist hier die Fläche der beiden Rechteck.

Hier habe ich dir eine der beiden Röhren (Kanäle) noch etwas verlängert gezeichnet (wie wenn man durch das Dach sehen könnte:

Bild Mathematik

von 146 k

Ich dachte, der Gesamtquerschnitt ist die Fläche der beiden Rechtecke?

Ja. Genau das stimmt. Du hast geschrieben, dass du dir die Kanäle nicht vorstellen kannst.

Also einfach F = x*y .

Aber du hast in deiner Antwort geschrieben, dass der Querschnitt die Fläche der beiden Rechtecke ist, obwohl das doch der Gesamtquerschnitt ist. Was ist dann der Querschnitt?

Jeder Luftkanal hat einen Querschnitt.

Zusammen gibt das den Gesamtquerschnitt ;)

Übe nun besser deine Rechnungen. Wenn du dann eine Rechnung hast, die die Eltern nicht kontrollieren können, stellst du sie als Frage ein. Schönes Wochenende !

Ach ja, stimmt. Da dieser Lüftungskanal in 2 Kammern unterteilt ist, gibt es auch einen Gesamtquerschnitt. Dank dir und deinen Zeichnungen habe ich es jetzt komplett verstanden. Tausen Dank!

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Dies ist eine Extremwertaufgabe

x * y = 3

Ich nehme einmal an

Blechverbrauch = 3 * y + 2 * x

( unten und oben ist eine Blechabdeckung  )

y = 3 / x

B ( x ) = 3 * 3 / x  + 2 * x

1.Ableitung bilden, zu Null setzen und min x
berechnen.

von 83 k

Das war aber nicht die Frage... :(

Der Begriff  Querschnitt sollte bekannt sein.

Oben sieht man den Querschnitt durch einen
Lüftungskanal.

Dieser besteht aus 2 Teilen. Für jeden Teil
könnte man eine eigene Querschnittsfläche
berechnen.

Angegeben ist die Gesamtquerschnittfläche der
beiden Teile mit 3 m^2.

+2 Daumen

Unter dem Querschnitt bzw. der Querschnittsfläche versteht man den Flächeninhalt wenn etwas quer durchgeschnitten wird.

Wenn du also die Lüftungskanale senkrecht zum Kanal durchschneidest erhältst du den Querschnitt.

x * y ist bei dir die Querschnittsfläche. Die Fläche die entsteht wenn man die Lüftungskanäle durchschneidet.

von 272 k

Ich kann mir es visuell immer noch nicht vorstellen, wie der Querschnitt hier nun aussieht. :(

"Unter dem Querschnitt bzw. der Querschnittsfläche versteht man den Flächeninhalt wenn etwas quer durchgeschnitten wird." Also ist der Querschnitt die Hälfte des eigentlichen Flächeninhaltes?


Wenn ich eine Melone durchschneide und mir dann das innere der Melone ansehe habe ich eine Querschnittsfläche. Also die Schnittfläche die beim Durchschneiden entsteht.

Und die Abbildung neben der Aufgabe stellt nun was dar? Den Querschnitt? Oder was ist der Querschnitt dann? Bin so verwirrt. Ich weiß jetzt zwar mehr als vorher, aber kann mir unter dem Querschnitt des Lüftungskanals und unter dem Gesamtquerschnitt immer noch nichts vorstellen. Kann man das nicht irgendwie aufzeichnen, falls das nicht so zeitaufwendig ist?

Nehmen wir einmal an du legst 2
Streichholzschachteln nebeneinander
und verklebst diese.
Das würde so aussehen wie oben.
Dann schneidest du diese quer durch.
Dadurch würde der Querschntt offengelegt.
Das sieht auch aus wie oben.

Noch einfacher : du drückst die Innenteile
aus den Schachteln heraus. Dann brauchst
du noch nicht einmal schneiden.

Kann man das nicht irgendwie aufzeichnen, falls das nicht so zeitaufwendig ist?

Das ist doch aufgezeichnet.

Die Querschnittsfläche ist einfach die Fläche die aus den nebeneinanderliegenden Lüftungskanälen gebildet wird.

A = x * y

Das ist dei Flächenformel vom Rechteck. Also

Fläche = Grundseite * Höhe

Ich glaube du willst hier nur Rumtrollen. Deine Eltern erklären dir bestimmt gerne was eine Querschnittsfläche ist.

Oh Gott, nein, ich will hier wirklich nicht rumtrollen. :D Ich bin zurzeit einfach nur eine Niete in Mathe. Und meine Eltern können mir da auch nicht weiterhelfen. Aber trotzdem danke für die Hilfe, ein bisschen habe ich ja doch verstanden.

+2 Daumen

Beginnen wir mit einem Lüftungsschacht l = 1.5 dann muss er h = 2 hoch sein um 2*1.5 einen Flächenquerschnitt von 3 zu haben. Für das Blech benötigen wir 2 l Teile und 3 h Teile macht einen Blechbedarf von U=2*1.5+3*2 = 9.

Jetzt verändern wir l solange bis wir möglichst wenig Blech brauchen

Bild Mathematik

Zwischen l= 2.1 und l= 2.2 wird der Blechbedarf  U minimal - der genaue Wert seht im Bild...

Ich mach mal einen Versuch ob auch GIF-Bilder ankommen:

von 5,2 k

Der Blechverbrauch, der hier minimiert werden soll, ist also der Umfang? Ahhh!

Und warum sind es eigentlich 3y und 2x? Durch einen Dach wird es oben abgedeckt, also 1x, und im Grunde genommen, wären es ja 4y. Je ein y  für die senkrechten Seiten des Rechtecks. Das verwirrt mich so.

Was an der Aussage
"Für das Blech benötigen wir 2 l Teile und 3 h Teile macht einen Blechbedarf von U=2*1.5+3*2 = 9."
verstehst du im Zusammenhang mit dem Bild NICHT?

Also ich habe in die Lösung reingeschaut und da steht: M= x+3y (und nicht 2x+3y).

Und ich verstehe nicht, wie der Blechverbrauch=Umfang sein kann. Der Umfang gibt ja nur an, wie "lang" das Äußere von etwas ist und nicht, wie viel man z.B. Blech verbraucht. Müsste das nicht irgendwas mit Oberfläche sein? Das verwirrt mich.

Die Hauptbedingung aus der Lösung ist richtig. Wenn man ganz genau hinsieht sind die Lüftungskanale nach oben nur durch das Dach begrenzt.

Der Materialverbrauch ist Umfang * Länge also proportional zum Umfang und damit minimal wenn auch der Umfang minimal ist.

Das hatte ich aber schon irgendwo erwähnt gehabt.

Umfang*Länge? Welche Länge?

Und warum ist eben der Materialverbrauch proportional zum Umfang?

Die Länge des Lüftungskanal.

Der kann ja 1 m, 2 m, oder eben x m sein.

Materialverbrauch rechnet sich Eben

Material = Umfang * Länge

Man sieht Material und Umfang sind Proportional mit dem Proportionalitätsfasktor Länge.

Achso, danke schön! Endlich habe ich es verstanden. Aber wie kommt man nur auf Anhieb darauf, den Umfang für den Materialverbrauch zu nutzen?

Wie gesagt weil das Material proportional zum Umfang ist.

Daher ist das Material minimal, wenn der Umfang minimal ist.

Hierbei werden dann Endstücke im Kanal einfach nicht berücksichtigt.

Solche Aufgaben hast du eventuell noch öfter. Das z.B. das Material einer Dachrinne minimiert werden soll. Wobei dann auch das Volumen bzw. Querschnitt vorgegeben ist.

Generell werden so alle möglichen Arten von Kanälen minimiert.

Okay, alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!

+1 Punkt

Das sind zwei rechteckige Rohre die innen hohl sind. Die Querschnittsfläche ist also nicht das Material.

Es soll 2x + 3y minimiert werden.

Das wurde dir aber bereits von georgborn geschrieben.

von 272 k

Was soll man sich denn unter einem minimierten Blechverbrauch überhaupt vorstellen? Je kleiner die Maße sind, desto weniger verbraucht man Blech (was hier gefordert ist?)?

Kannst du mir weiterhelfen?

Naja. Du kannst das Blech nicht minimal klein machen weil die Fläche vorgegeben ist. Daher ist das ja eine Extremwertaufgabe, die dir bereits auch vorgerechnet worden ist. Was genau verstehst du nicht ?

Ja, das habe ich doch auch gesagt, oder nicht? Aber weshalb ist es dann eine Extremwertaufgabe? Was wird denn minimiert?

Der Materialbedarf wird unter einer Nebenbedingung minimiert.

Der Materialbedarf ist hier der Umfang, oder?

Eigentlich nachher umfang mal der Tiefe. Also die Länge der Röhren. Aber da das Material proportional zum Umfang ist kann man nur den Umfang minimieren. Und umfang bedeutet hier.

U = 2x + 3y

Also ja? Der Umfang wird hier minimiert?

Und warum sind es eigentlich 2x und 3y und nicht 1x und 4y? Ich meine, oben ist es ja durch ein Dach abgedeckt, weswegen 1 x wegfällt und es sind zwei Rechtecke, was 4y ausmacht.

Du hast die waagerechten Strecken der Länge x genau 2 mal. Einmal direkt unterm Dach und unten .

Du hast die Senkrechten Strecken der Länge y 3 mal. Einmal rechts und Links als Abgrenzung zur Außenluft und einmal in der Mitte um die beiden Kanäle zu trennen.

Also ich habe jetzt in die Lösung geschaut und da steht für diese Aufgabe:

M = x+3y , 3 = xy , M(y) = 3/y + 3y , M'(y) = -3/y^2 + 3 = 0 , y = 1m , x = 3m

Der Blechverbrauch steht also für den Umfang. Das verstehe ich aber nicht. Der Umfang sagt ja nur aus, wie "lang" das Äußere von etwas ist und hier z.B. nicht, wie viel Blech man verbraucht.

Und in der Aufgabe steht jetzt nur x+3y statt 2x+3y. Das in der Lösung stimmt aber wohl, oder?

Ich hoffe, ich nerve nicht. Ich bin wirklich dankbar für jede Antwort.

Kannst du mir weiterhelfen? Ich verzweifle an dieser Aufgabe...

Nebenbedingung

A = x * y = 3

Die Nebenbedingung wird z.B. nach y aufgelöst

y = 3/x

Hauptbedingung

U = 2x + 3y

Hier wird die NB eingesetzt

U = 2x + 3(3/x) = 2x + 9/x

Das jetzt ableiten und Null setzen

U ' = 2 - 9/x^2 = 0 --> x = 2.121320343 m

y = 3/2.121320343 = 1.414213562 m

Jetzt kann man noch mit der Hinreichenden Bedingung (2. Ableitung > 0) zeigen, dass es ein Minimum ist.

Ich weiß, wie man das alles berechnet. Mir geht es nur um die Logik und Verständnis der Aufgabe.

Übrigens: die Hauptbedingung lautet ja: M= x+3y (und nicht 2x+3y). Und demzufolge lauten die Lösungen auch x=3m und y=1m. Quelle: Lösung der Aufgabe.

Ich verstehe jetzt nur nicht, warum der Blechverbrauch für den Umfang steht und nicht für die Oberfläche. Der Umfang gibt ja nur die Länge des "Äußeren" an und nicht das Blechmaterial...

Die Hauptbedingung aus der Lösung ist richtig. Wenn man ganz genau hinsieht sind die Lüftungskanale nach oben nur durch das Dach begrenzt.

Der Materialverbrauch ist Umfang * Länge also proportional zum Umfang und damit minimal wenn auch der Umfang minimal ist.

Das hatte ich aber schon irgendwo erwähnt gehabt.

0 Daumen
Hi Leute,
Bei dieser Aufgabe ist mir die Fragestellung schon ein Problem.
In einer Fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt soll 3m² betragen.
Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Blechverbrauch minimal werden soll?
Bild Mathematik
Was stellt der Gesamtquerschnitt dar? Wozu dient das Blech?
Der Rechenweg ist mir klar:
Größe die max./min. werden soll, suche -->Funktion aufstellen zwischen der Größe mit allen Angaben= Hauptbedingung
Sonstige Informationen ergeben die Nebenbedingung.
Zusammenfügen von NB in HB
Erste Ableitung bilden und gleich Null setzten --> x --> andere Variablen per Einsetzen.
Mein Problem ist das Erstellen der NB und HB, der Rest ist ja wohl nicht so schwer.
Hoffe ihr könnt mir beim Aufstellen helfen
Vielen Dank
luis
von 2,1 k

Ich stell mir das so vor:
Das Schwarze ist das Blech.
Der Gesamtquerschnitt des Kanals (der Boden und die Seiten
wände sind wohl schon vorhanden ist x*y  = 3m^2

Blech für den Deckel  ist x*L  wobei die Länge L eine Konstante ist
und für die Trennwand der beiden Kanalteile y*L
Dann wäre der Gesamtverbrauch an Blech
v(x,y) = x*L + y*L   und die Nebenbed.   x*y  = 3

also v(x)= x*L + 3*L / x =( x+3/x) * L

da L konstant ist, brauchst du nur ( x+3/x) auf Extremwerte zu untersuchen

Kann das sein ?

Kann das sein ?
Ich sehe den Sachverhalt auch so.
Das " L " hätte ich von Anfang an schon nicht mitgeschleppt.

Der Extrempunkt in der 3.Dimension mit " L "  ist
derselbe wie in der 2.Dimension ohne " L ".

Hier noch die Lösung zur Kontrolle.
f ( x ) = x + 3 /x
f ´( x ) = 1 - 3 / x^2
1 - 3/x^2 = 0
3/x^2 = 1
x^2 = 3
x = 1.73
y = 1.73

Bei einem quadratischen Querschnitt ist der Blechverbrauch
zur Unterteilung am Geringsten . 3.46 m

Nachtrag : dem Fachmann hätte dies gleich auffallen können.
x und y sind praktisch von der Länge her die 2 Seiten des Vierecks.
Ein Viereck hat den geringsten Umfang als Quadrat.

Ja ich kann dem Ganzem folgen, jedoch hat unsere Lehrerin folgende Lösungen vorgeschlagen:

x=3  y=1  und b=6


Mit b ist meiner Vermutung nach L gemeint

f ( x ) = x + 3 /x 
f ´( x ) = 1 - 3 / x2

3/x  = 3* x-1  Ableiten -->  -3x-2 

f'(x)=1-3x-2   oder ? 

Edit: Ist das Selbe wie   1 - 3/x2 = 0  

Fällt mir gerade auf, entschuldigung

Macht nichts. Du kannst mich jederzeit auf ( vermeintliche ) Fehler
aufmerksam machen. Das mache ich auch. Wir wollen ja schließlich
eine richtige Antwort.

Bezüglich der Lehrerantwort. Hast du den Orginaltext der Frage ?
Kannst du diesen hier einstellen.

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