Grenzwert mit 0 im Nenner. lim ( (1/1-x) - (3/1-x3)), x->1

Question

Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich stehe vor diesem Problem lim  ( (1/1-x)   -  (3/1-x³))
                                                x->1

Die Lösung soll -1 sein, jedoch komme ich mit meinen Umformungen nicht drauf. Könnte jemand Schritt für Schritt erklären, wie man auf die Lösung kommt? Ich wäre sehr dankbar! :)
Vielen Dank für Eure Hilfe,

Liebe Grüße

Answer 1

 ( (1/1-x)   -  (3/1-x³))
In deiner Frage hast du wahrscheinlich
falsch geklammert
 ( 1/ (1-x )   -  3/ (1-x³ ) )

Hauptnenner bilden und auf einen Bruch
zusammenfassen ergibt 0 / 0
Dann 2 mal L´Hospital.

.

Answer 2

(...) Die Lösung soll -1 sein, jedoch komme ich mit meinen Umformungen nicht drauf.

Wir können zunächst versuchen, die beiden Quotienten zusammenzufassen, um dann zu schauen, ob sich der Linearfaktor $(1-x)$ nicht vielleicht wegkürzen lässt. Das geht hier recht elementar und wir müssen gar nicht viel rechnen. Ein möglicher Weg wäre:

$$\frac { 1 }{ 1-x } - \frac { 3 }{ 1-x^3 } \\\,\\= \frac { 1 }{ 1-x } - \frac { 3 }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= \frac { 1+x+x^2-3 }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= \frac { (x-1)\cdot(2+x) }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= -1\cdot\frac { 2+x }{ 1+x+x^2 }.$$Jetzt können wir $x=1$ einsetzen, um den gesuchten Grenzwert zu bestimmen.

Answer 3

Bilde den Hauptnenner und setze ein.