Polynomfunktion in Linearfaktoren zerlegen

Question

Stelle die Polynomfunktion f(x)= x⁴ + x³ - 11x² - 9x + 18 mit Hilfe von Linearfaktoren da. 

Answer 1

Hi,

da kannst Du Nullstellen raten, um eine Polynomdivision zu machen und so Linearfaktoren zu finden.

Eine Nullstelle ist x = -2.

(x^4  +  x^3  - 11x^2  -  9x  + 18) : (x + 2)  =  x^3 - x^2 - 9x + 9 
-(x^4  + 2x^3)                     
 —————————————
       - x^3  - 11x^2  -  9x  + 18
     -(- x^3  -  2x^2)            
       ———————————
               - 9x^2  -  9x  + 18
             -(- 9x^2  - 18x)     
               —————————
                          9x  + 18
                        -(9x  + 18)
                          ——————
                                 0

Jetzt nochmals eine Nullstelle raten. x = 1 bspw.

(x^3  - x^2  - 9x  + 9) : (x - 1)  =  x^2 - 9 
-(x^3  - x^2)          
 ————————
             - 9x  + 9
           -(- 9x  + 9)
             —————
                     0

Den Rest können wir mit der binomischen Formel erledigen x^2-9 = (x-3)(x+3)

Insgesamt dann:

x^4  +  x^3  - 11x^2  -  9x  + 18 = (x+2)(x-1)(x-3)(x+3)

Alles klar?

Grüße

Comments

Warum sollte man hier denn eine Polynomdivision machen wollen? Nur, weil man es kann? Ohne geht es doch schneller und einfacher.

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Immer eine Frage der Möglichkeiten. Eine ist hier vorgestellt. Es steht Dir frei eine weitere vorzustellen. Allerdings sollte man erst die Grundlagen beherrschen, bevor man sich auf "Sehen" und "Tricks" einlässt.

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Ich habe nichts von "Sehen" oder "Tricks" gesagt. Vielmehr hast du als ersten Schritt  von "Nullstellenraten" gesprochen und im zweiten Schritt von "Polynomdivision". Da dein erster Schritt offensichtlich weniger Arbeit macht als dein zweiter, wäre es doch naheliegend, es so lange weiter mit Nullstellenraten zu versuchen, bis es damt nicht mehr weiter geht. Und hier kann man nach den vier verschiedenen Nullstellen, die maximal möglich sind, die Linearfaktorisierung gänzlich ohne Polynomdivision vornehmen.

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Ich habe nichts von "Sehen" oder "Tricks" gesagt.

Das war auch allgm formuliert.

Ansonsten stimmt das natürlich ;).