Warum gibt es keine Funktion f: R^2->R der Klasse C^2 mit ...?

Question

Analysis II Klausur mit dieser Aufgabe:

(a) Warum gibt es keine Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) der Klasse \( C^{2} \) mit

\( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=x y \cos (x y) \quad \text { und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x^{2} \cos (x y)-1 \)

für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} ? \)

(b) Finden Sie alle \( C^{\infty} \) -Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=\sin (x y)+x y \cos (x y) \quad \text { und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x^{2} \cos (x y)-1 \)

für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \).

Für Teil a) habe ich mir gedacht, dass ich zeigen müsste, dass mindestens eine dieser Funktionen ( df/dx oder df/dy) nicht stetig sind. Somit kann f nicht von der Klasse C^2 sein.

Bei Teil b) habe ich noch keine Vorstellung, wie ich an diese Aufgabe rangehen sollte.

Wie muss ich bei diesen beiden Teilaufgaben vorgehen?

Answer 1

Also ich würde für den ersten Teil die beiden Differentiale integrieren und dann gucken ob man aus beiden eine gemeinsame Funktion f findet:

Also für das erste  ist f_1(x,y)=x*sin(xy)+cos(xy)/y+c(y)

und für das zweite : f_2(x,y)=x^2*sin(xy)-y+d(x) und jetzt müsste man c(y) und d(x) so wählen dass f_1=f_2 ist, was in dem Fall nicht möglich ist.


für den zweiten Teil das gleiche:

f_1(x,y)=x*sin(xy)+c(y)

f_2(x,y)=x*sin(xy)-y+d(x)

mit c(y)=y+a und d(x)=a mit a in |R bekommt man als Lösung:

f(x,y)=x*sin(xy)-y+a mit a in R sind alle Lösungen.


Dass die Funktion in Teil 2 C unendlich ist, sieht man an der Tatsache, dass der sinus drin ist un der ist C unendlich und stetig. und auch y ist stetig und damit die addition stetig.

Ich hoffe das hilft und stimmt auch so ;)