Mathematik Extremwertaufgabe. Mich verwirren die Grenzen

Question

Liebe Leute,

kann mir einer bei dieser Extremwertaufgabe helfen.

Mich verwirren die Grenzen von X . Ich weiß nicht wie ich die Flächenfunktion aufstellen soll.

Mein Ansatz wäre : (x-1)*4/X²

Answer 1

Hi,

dein Gebiet G ist die Fläche zwischen der roten Senkrechten, der grünen Senkrechten, der x-Achse und dem Funktionsgraphen.

Die linke Seite des Rechtecks wird auf jeden Fall auf der roten senkrechten, d.h. x=1, liegen und die Unterseite wird auf der x-Achsex, d.h. y=0, liegen. (Klar warum?)

Nun willst du $A(x)=(x-1) \cdot (f(x)-0) = 4 \cdot \frac{x-1}{x^2}$ maximieren.

Hierbei ist x-1 die Länge der Unter-/Oberseite und f(x) die Höhe des Rechtecks.

Comments

also ist mein Ansatz

(x-1)*4/X2

richtig??

Grüße 

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Huch, hatte ja gar nicht gesehen, dass da bei dir schon stand. Ehm ja, das ist korrekt :)

Was tust du nun?

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Ableiten dann 

den x Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen um Y auszurechnen.

Dann einfach x mal y , dann sollte man die Volumeneinheiten rausbekommen

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Ja, ableiten und der errechneten Wert für x dann in A(x) einsetzen. Aber was meinst du mit x mal y? A(x) ist ja schon der Flächeninhalt den du berechnen sollst.

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dachte ich rechne  x und y aus . Denn die Flächenformel lautet ja A=X*Y

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Achso.

Also $x \cdot y$ wird nicht klappen. Du musst $A(x)=(x-1) \cdot f(x) = (x-1) \cdot y$ berechnen. Deine Höhe ist y=f(x) und die Länge der Unterseite ist x-1.

Answer 2

mache Dir eine Zeichnung - so wie diese

Plotlux öffnen

f₁(x) = 4/(x⁴)·((x>1)·(x<4))f₂(x) = 0,79·(x>1)·(x<1,5)Zoom: x(-1…5) y(-0,5…4)

dort siehst Du das rote Rechteck, was sich zwischen den Koordinaten $x_0=1$ und $x=1,5$ befindet. Erhöht man den Wert für $x$ so wird es zwar länger, aber auch flacher. Gesucht ist nun ein Wert für dieses $x$ bei dem das Rechteck maximalen Flächeninhalt annimmt.

Dein Ansatz für den Flächeninhalt $A$ ist völlig korrekt

$$A = g \cdot h = (x-x_0) \cdot f(x) = (x-1)\cdot \frac{4}{x^2}$$

Die Ableitung nach $x$ ist

$$A'= \frac{4x^2 - 8(x-1)x}{x^4} = \frac{8-4x}{x^3}$$

nach Nullsetzen (des Zählers):

$$8-4x_{\max} = 0$$erhält man

$$x_{\max}=2$$

Answer 3

Hier schon einmal die Skizze

Gesucht ist das größtmögliche Rechteck unterhalb
der Funktion f ( x ) = 4/x²
A ( x ) = ( x-1 ) * 4 / x²

A ´( x ) = 1 * 4 / x² + ( x -1 ) * (- 8 ) / x³

Extremwert A ´( x ) = 0
x = 2

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