Aufgabe: Wie lauten die Lösungen z ∈ ℂ der folgenden Gleichungen in kartesischer Form und in Exponentialform?
(a) z^4 -10+31i = (3+2i)^3
(b) z^5 = z^3
Mein Versuch zu a)
z^4 -10+31i = (3+2i)^3 | rechts ausmultiplizieren
⇔ z^4 -10+31i =(3+2i)(3+2i)(3+2i)
⇔ z^4 -10 +31i = -9+46i | +10-31i
⇔z^4 = 1+15i | umwandeln in exp. Form ,um die 4te Wurzel besser zu ziehen.
⇔z^4 = √(226)* e^(i(arctan15)) |4^√( )
z1 = 6^√(226)* e^(i(arctan15)*1/4) ∨ z2 = 6^√(226)* e^(i(2π+arctan15)*1/4)
∨ z3 = 6^√(226)* e^(i(-arctan15)*1/4) ∨ z4 = 6^√(226)* e^(i(2π-arctan15)*1/4)
→über die trigonom. Form wieder in kart. Form umwandeln, mache ich aber nicht, weil ich nicht weiss obs bis hier stimmt.
Gruß vom Denker^^
