3^n >= n^3 mit vollständiger Induktion beweisen

Question

wollte mal fragen, ob dieser Beweis so funktionieren würde.

Behauptung: 

Beweis: durch vollständige Induktion

Induktionsanfang:

 

Induktionsschritt:

        Induktionsanfang:

        

        Induktionsschritt:

        

        Dies zeigt man so

        

        

Comments

Die Laenge Deines Beweises für so eine triviale Aussage sollte Dir zu denken geben.

Der Induktionsschritt geht z.B. einfach so: $$3^{n+1}=3\cdot3^n\ge3n^3\stackrel{!}{\ge}(n+1)^3.$$ Die markierte Ungleichung am Ende ist, was man gerne haette, damit der Induktionsschritt aufgeht. Sie ist aequivalent zu \(3\ge(1+1/n)^3\), was für alle \(n\ge3\) ersichtlich richtig ist, denn es stimmt für \(n=3\) und die rechte Seite wird mit wachsendem \(n\) immer kleriner.

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Das beantwortet nur nicht meine Frage, ob auch mein Weg richtig ist.

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Soweit es mich angeht, ist Dein Lösungsvorschlag zu lang und zu umstaendlich, um sich damit auch noch im Detail zu befassen. Es geht in einer Zeile mit einer einfachen Ueberlegung ohne eine weitere Induktion und ohne langwierige Rechnung.

Answer 1

Im Induktionsschritt zeigen wir dass 3ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)³  mit Hilfe der Induktionsbehauptung (IB), also dass 3ⁿ ≥ n³ gilt. 

Wir haben folgendes:  $$3^{n+1}=3\cdot 3^n \overset{(IB)}{\geq }3\cdot n^3 \\ =n^3+2\cdot n^3 \\ =n^3+ n^3+n^3 \\ =n^3+ n\cdot n^2+n\cdot n^2  \\ \geq n^3+3\cdot n^2+3\cdot n^2 \\ =n^3+3\cdot n^2+ n^2+n^2+n^2 \\ = n^3+3\cdot n^2+ n\cdot n+n\cdot n+n\cdot n \\  \geq n^3+3\cdot n^2+3\cdot n+3\cdot n+3\cdot n \\ \geq n^3+3\cdot n^2+3\cdot n+1 \\ =(n+1)^3$$