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pla2.jpg

wie kann ich den Inhalt des schraffierten Vierecks aus der gegebenen Seite c und die Höhensatz berechnen?

von

Ist noch eine andere Größe gegeben, wie c?

Oder entspricht ein Kästchen 0,5cm?

Hello, nur C ist gegeben , es gibt ein kurze Antwort ; A=( C^2 / 8)(2 - Wurzel 3) , Allgemein. 

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind doch gegeben! Das reicht, um die Fläche des Vierecks zu berechnen.

Skizze1.png

In obiger Skizze sind alle blauen Winkel \(=60°\), die grünen \(=45°\) und die roten \(=15°\). Das Dreieck \(\triangle ABH_a\) ist ein gleichschenkliges und rechtwinkliges. Also ist die Strecke

$$|H_aB| = \frac12 \sqrt{2} \cdot c$$ Demnach ist die Strecke \(|HH_a|\)

$$|HH_a| = |H_aB| \cdot \tan 15° = \frac12 \sqrt{2} \cdot c \cdot (2-\sqrt{3})$$ Damit haben wir schon mal die Fläche des Dreiecks \(\triangle HH_aC\), was ja ein 'halbes Quadrat' ist.

$$F(\triangle HH_aC) = \frac{1}{2}\left(\frac12 \sqrt{2} \cdot c \cdot (2-\sqrt{3})\right)^2 = \frac{c^2}{4}\left( 2-\sqrt{3}\right)^2 $$

Nun das linke Dreieck: Die Strecke \(|AH_b| = c/2\) (klar -warum?). Und die Strecke \(|H_bH|\) ist dann

$$|H_bH| = |AH_b|  \cdot \tan 15° = \frac{c}{2} \cdot (2-\sqrt{3})$$ und die Strecke \(|H_bC| = \sqrt{3} \cdot |H_bH|\). Daraus folgt dann die Fläche des Dreiecks \(\triangle H_bHC\).

$$F(\triangle H_bHC) = \frac12 |H_bH| \cdot |H_bC| \\ \space =\frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{c}{2} \cdot (2-\sqrt{3}) \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{c^2}{4}(2-\sqrt{3})^2$$ Die Summe beider Dreiecke gibt die Fläche \(F\) des Vierecks:

$$F = \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{c^2}{4}(2 - \sqrt{3})^2 \\ \space = \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{c^2}{4} (7 - 4\sqrt{3}) = \frac{c^2}{8}(2-\sqrt{3})$$ Gruß Werner

von 19 k

Schöne Antwort. Punkt von mir.

Danke :-) (die Punktquelle dachte ich mir schon)

Schön, womit  hast du das Bild gemacht ?

Schön, womit  hast du das Bild gemacht ?

mit Cinderella.

Ja sehr schön , Danke :)

+2 Daumen

Ich hätte jetzt so angefangen:

1112zeichnung.png

Dreieck ABD ist eine halbes Quadrat (Diagonale c ). D.h. Seitenlänge c/√(2) und Fläche (c/√2)^2/2 = c^2/4. .

Dreieck ABE ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge c. Hierfür kennt man die Flächenformel und kann auch alle Seiten ausrechnen.

Dann den Tipp benutzen. h_(c) einzeichnen.

Höhenfusspunkt sei H. ---> linker Teil AHC: Halbes gleichseitiges Dreieck.

rechte Hälfte HBC: Halbes Quadrat.

Damit sollte sich dann etwas machen lassen.

Schau mal, ob das klappt und / oder ob du einen direkteren Rechenweg findest.

Der Höhensatz nützt dir wahrscheinlich nichts bei h_(c), da ABC kein rechtwinkliges Dreieck ist. 

von 152 k

... schon witzig. Da wartet Benacer 4h auf seine Antwort und dann kommen gleich zwei innerhalb weniger Sekunden. Hatte mich schon gewundert, warum da keiner geantwortet hat!

Habe mich auch gewundert. Aber die Frage sah nach viel Arbeit aus.

vielen Dank für die Antworten , sie waren sehr hilfreich.

Ich wünsche allen einen schönen Tag  :)

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