Sei M eine nicht-leere TM einer Gruppe (G, ∗). Beweisen Sie, dass ⟨M⟩ eine Untergruppe von G ist.

Question

(a) Sei M eine nicht-leere Teilmenge einer Gruppe (G, ∗). Beweisen Sie, dass ⟨M⟩ eine
Untergruppe von G ist.
Definition. ⟨M⟩ heißt die von M erzeugte Untergruppe von G.
(b) Wir betrachten die Untergruppe ⟨4, 14⟩ von Z20. Wie viele Elemente hat diese Untergruppe?

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Vom Duplikat:

Titel: Sei M eine nicht-leere Menge einer Gruppe (G, *)

Stichworte: mengen,teilmenge,untergruppe,isomorphismus,definition

(a) Sei M eine nicht-leere Teilmenge einer Gruppe (G, ∗). Beweisen Sie, dass ⟨M⟩ eine
Untergruppe von G ist.
Definition. ⟨M⟩ heißt die von M erzeugte Untergruppe von G.
(b) Wir betrachten die Untergruppe ⟨4, 14⟩ von Z20. Wie viele Elemente hat diese Untergruppe?

Definition. Sei M eine nicht-leere Teilmenge einer Gruppe (G, ∗). Wir betrachten die
Teilmenge H von G, die aus Elementen m1 ∗ m2 ∗ · · · ∗ mk besteht, wobei mi ∈ M oder m−1
i ∈ M für 1 6 i 6 k und k ∈ N ist. Man schreibt H = ⟨M⟩.

Mir ist bewusst, dass diese Frage schonmal gestellt wurde. Die Frage wurde jedoch nicht beantwortet.

Answer 1

a) Def. von H=<M> ist n icht lesbar.

b) betrachte alles, was sich durch (auch wiederholte) Addition  [das soll wohl die Verknüpfung sein?]

von 4 und 14 "erzeugen= lässt

4

4+4=8

4+4+4=12

4+4+4+4=16

4+4+4+4+4=20=0

14

14+4=18

14+4+4=22=2

und mit der 2 dann auch 6 und 10.

Also hat die UG genau 10 Elemente.