Partielle Ableitung von Normfunktion

Question

zu berechnen ist der Gradient von  $$||x||^n$$ mit

$$n \in \mathbb R ; D = \mathbb R^n, f: D \rightarrow \mathbb R^n$$

defniert durch $$f(x) = ||x||^n$$ mit $$||x||= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$$

Meine Ideen:

$$||x||= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} ^n = (\sum_{i=1}^n {x^2_i})^{\frac{n}{2}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \frac{n}{2} (\sum_{i=1}^n {x^2_i})^{\frac{n-2}{2}} 2x_i$$

Ist das der richtige Ansatz?

Answer 1

Ja, das ist ein richtiger und zielführender Ansatz.

Allerdings habe ich zwei kleine Bemerkungen/Korrekturen ...

In der Zeile$\lVert x\rVert=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}^n={(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})}^{\frac{n}{2}}$ sollte eher ${\lVert x\rVert}^n$ statt $\lVert x\rVert$ stehen.

Außerdem hast du in der Aufgabenstellung $f : D\to\mathbb{R}^n$ geschrieben. Da sollte wohl eher $f : D\to\mathbb{R}$ stehen.

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Wenn du den Ansatz weiter verfolgst ...

$f(x) = {\lVert x\rVert}^n={\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\right)}^n={\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$

$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x_i} &= \frac{n}{2}\cdot{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot2 x_i \\&= n\cdot{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n-2}{2}}\cdot x_i \\&= n\cdot{\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\right)}^{n-2}\cdot x_i\\&= n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_i\end{aligned}$

$\begin{aligned}\nabla f(x) &= \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_1 \\ \vdots \\ n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_n\end{pmatrix} \\&= n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x\end{aligned}$

... solltest du schließlich zum Ergebnis $\nabla f(x) = n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x$ gelangen.

Comments

Danke :)

Ja ich habe mich wirklich sehr schlimm verschrieben :(

Dann hätte ich noch eine Frage:

n ist so zu bestimmen, das gilt:  $$\sum_{i=1}^n \partial_i( \partial_i f)=0$$

D.h es muss gelten:

$$\partial_i( \partial_i f) = \partial_i (n ||x||^{n-2} x_i )= n ||x||^{n-2} + (n-2) x^2_i ||x||^{n-4}=0$$

wobei  $$x \ne 0$$ist

D.h also s muss  $$n ||x||^{n-2} = - (n-2) x^2_i ||x||^{n-4}$$

Dann wäre jeder Summand 0 und damit die Summe.

Ist das bis hierhin richtig?

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Du hast fast richtig berechnet, dass $\partial_i\partial_if(x)=n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}$ ist. [Dir fehlt ein $n$.]

Jedoch muss nicht unbedingt $\partial_i\partial_if(x) = 0$ für alle für $i\in\lbrace1, \dots, n\rbrace$ sein, damit die Summe 0 wird. Eine Summe kann auch 0 werden ohne dass alle Summanden 0 sind.

Wenn du forderst, dass jeder Summand 0 ist, wirst du im Allgemeinen keine entsprechende Zahl $n\in\mathbb{N}$ finden können.

Stattdessen solltest du die berechneten partiellen Ableitungen in deine Summe stecken und die Summe dann etwas weiter vereinfachen/ausrechnen.

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\partial_i \partial_i f(x) &= \sum_{i=1}^{n}\left(n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\right) \\&= \sum_{i=1}^{n}\left(n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\right) \\&= n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\cdot\sum_{i=1}^{n}1+n\cdot(n-2)\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\cdot\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2 \\&= n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\cdot n+n\cdot(n-2)\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\cdot{\lVert x\rVert}^2 \\&= n^2\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+(n^2-2n)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\\&= (2n^2-2n)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\\&= 2n\cdot(n-1)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\end{aligned}$

Die Summe wird demnach $0$, wenn $n=0$ oder $n=1$ ist.

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Vielen Dank:)

Ich habe alles verstanden:)

Schönen Tag dir noch:)