Question

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihen

Was steht in prizip
was muss ich zu erst machen, zu zweit und so weiter!

Answer 1

Mach es mit den Konvergenzkriterien. Für f(x) könnte man zum einen das mit dem Quotientenkriterium machen oder mit dem Wurzelkriterium.

Nach dem Quotientenkriterium gilt:

$$\limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigg| = \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(xe)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{(xe)^n} \Bigg|= \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(xe)^1}{n+1} \Bigg|=0$$

Nach dem Wurzelkriterium gilt

$$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\Bigg|\frac{(xe)^n}{n!} \Bigg|}=\limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(xe)}{\sqrt[n]{n!}} \Bigg|\stackrel{(*)}{=}0$$

$$(*) \lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{n!}}=\infty\\ \text{ Könntest du auch benutzen, sofern ihr das schon bewiesen habt.}\\ \text{Sonst musst du es hier extra beweisen}$$

Nun der Konvergenzbereich:

Doch zunächst der Konvergenzradius:

$$R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{|a_n|}}} \Rightarrow \qquad R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{\frac{(xe)^n}{n!}}}}=\infty$$

Konvergenzbereich

$$x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-x_0|<R\}\\ \Rightarrow \quad x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-0|<+\infty\}=]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}$$

Wann man welches Kriterium nimmt, hängt ganz von der Reihe ab. Das erfordert ein paar Übungen je Kriterium, um ein gewisses Auge dafür zu entwickeln, was gerade sinnvoll zu benutzen ist.

Comments

lim sup - lim superior , bin richtig?

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Ja genau. Sup ist nur die Abkürzung.