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Folgende Frage ich habe die Parabel y=x2 und dieParallenenschar y=1/2x+b gegeben. Nun ist gefragt wie die Koordinaten des Berührpunktes sind.

Wie berechne ich diese?

Freue mich auf eine Antwort

Gruß Yannic

von

Die angebliche Parabel ist keine.

Stimmt, hatte das Quadrat vergessen.

Danke für den Hinweis

3 Antworten

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Das kommt ein wenig darauf an, was du bereits weißt.

1. Möglichkeit:

Wenn du Ableitungen kennst, ...

Die Geraden der Parallelenschar haben jeweils Steigung \(\frac{1}{2}\). Suche demnach die Stelle \(x_0\in\mathbb{R}\), an der die Tangentensteigung der Parabel gleich \(\frac{1}{2}\) ist. Die Parabel wird durch die Funktion \[f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto x^2\] beschrieben. Die Tangentensteigung der Funktion an der Stelle \(x_0\) ist der Wert \(f'(x_0)\) der Ableitung \(f'\).

Berechne demnach die Ableitung \(f'\) und löse die Gleichung \(f'(x_0) = \frac{1}{2}\), um die Stelle \(x_0\) zu erhalten. Damit hast du dann die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes gefunden. Die \(y\)-Koordinate erhältst du dann durch \(y_0 = x_0^2\), da der Berührpunkt auf der Parabel liegt. Damit hast du dann den Berührpunkt \((x_0| y_0)\) berechnet.

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\(f(x) = x^2\)

\(f'(x) = 2x\)

Nun soll \(f'(x_0) = \frac{1}{2}\) sein. \(f'(x_0) = \frac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad 2 x_0 = \frac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad x_0 = \frac{1}{4}\)

Da der Berührpunkt \((x_0 | y_0)\) außerdem auf der Parabel liegt ... \(y_0 = x_0^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\)

Demnach ist \(\left(\frac{1}{4}\middle|\frac{1}{16}\right)\) der gesuchte Berührpunkt.

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2. Möglichkeit:

Für welchen Parameter \(b\in\mathbb{R}\) gibt es nur einen Schnittpunkt? Also für welchen Parameter \(b\in\mathbb{R}\) hat die Gleichung \(x^2 = \frac{1}{2}x + b\) genau eine Lösung \(x\in\mathbb{R}\)?

Der entsprechende Schnittpunkt ist dann der gesuchte Berührpunkt.

[spoiler]

\(x^2 = \frac{1}{2}x + b \quad \Longleftrightarrow\quad x^2 - \frac{1}{2} x -b = 0\)

Wann wird die Diskriminante \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\cdot 1\cdot (-b)\) der quadratischen Gleichung gleich \(0\)? \(\begin{aligned}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\cdot 1\cdot (-b) = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{4} + 4 b = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad 4 b = -\frac{1}{4} \\ & \Longleftrightarrow \quad b = -\frac{1}{16}\end{aligned}\)

Berechne demnach den Schnittpunkt der durch \(y = x^2\) gegebenen Parabel mit der durch \(y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{16}\) gegebenen Geraden.

\(\begin{aligned}x^2 = \frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \quad & \Longleftrightarrow \quad x^2 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \quad x^2 - 2\cdot\frac{1}{4} x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 0 \\ & \Longleftrightarrow \quad \left(x-\frac{1}{4}\right)^2 = 0 \\ & \Longleftrightarrow \quad x-\frac{1}{4} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \quad x = \frac{1}{4}\end{aligned}\)

Demnach ist \(x_0 = \frac{1}{4}\) die \(x\)-Koordinate des Berührpunkts.

Da der Berührpunkt \((x_0 | y_0)\) außerdem auf der Parabel liegt ... \[y_0 = x_0^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\]

Demnach ist \(\left(\frac{1}{4}\middle|\frac{1}{16}\right)\) der gesuchte Berührpunkt.

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beruehr.png

von 1,2 k
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Die Ableitungen müssen übereinstimmen an der Berührstelle:

2x= 1/2

x= 1/4

f(1/4) = 1/16 --> 1/16= 1/2*1/4+b --> b = -1/16

von 61 k 🚀
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Hallo Yannic,

Tangentensteigung  1/2 = Parabelsteigung  2x    →  x = 1/4   →   Berührpunkt  B(1/4 | 1/16)

Graph .jpg

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀

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