Ist die Funktion f: [2,3] -> [2,7], f(x):=x^2-2 bijektiv?

Question

Kann man dies so machen?

$$Ist\quad f:[2,3]\rightarrow [2,7],\quad x\mapsto { x }^{ 2 }-2\quad bijektiv?\\ Meine\quad Lösung:\\ \circ \quad f\quad ist\quad injektiv,\quad da\quad denn\quad f({ x }_{ 1 })=f({ x }_{ 2 })\Rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-2={ x }_{ 2 }^{ 2 }-2\Rightarrow { x }_{ 1 }={ x }_{ 2\quad  }\epsilon [2,3]\\ \circ \quad f\quad ist\quad surjektiv,\quad da\quad zu\quad jedem\quad Wert\quad a\quad aus\quad dem\quad Wertebereich\quad [2,7]\quad ein\quad x\epsilon [2,3]\\ \quad existiert\quad mit\quad f(x)=a.\quad Für\quad x=\sqrt { a+2 } gilt\quad nämlich:\quad \\ \quad f(\sqrt { a+2 } )={ (\sqrt { a+2 } ) }^{ 2 }-2=|a+2|-2=a\quad für\quad a\ge -2.\\ \circ \quad Aus\quad der\quad Injektivität\quad und\quad Surjektivität\quad folgt\quad die\quad Bijektivität\quad von\quad f.\quad \quad \boxdot \\$$

Answer 1

Bei "Injektiv" würde ich noch genauer argumentieren:

x1^2 = x2^2 ==>  x1 = x2 weil durch den Definitionsbereich beide als pos.

vorausgesetzt sind.

Sonst ist es prima !

Comments

Stimmt, sowas vergesse ich immer:) Danke

Answer 2

Hallo

 Das ist alles richtig, einfacher wäre gewesen f ist in [2,3] monoton steigend und stetig , also injektiv, f(2)=2, f(3)=7  und  damit auch surjektiv.

Gruß lul

Comments

Suppi:)

Eine Frage mal zum Betrag.

Warum muss man den setzen, wenn man die Wurzel eigentlich gar nicht zieht?

z.b sqrt(x)=|x| ist für mich eigentlich klar, denke ich, aber (sqrt(x))^2 =|x| verstehe ich nicht, denn die Potenzen heben sich ja nur auf.

Also ich mache es schon immer so, aber eher unbewusst.