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Kann mir jemand bitte erklären wie man die Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen ermittelt?

Aufgabe: f(x)=1/20(x^4-4x^3-18x^2+44x-23)

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Titel: Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Stichworte: ganzrationale-funktionen

Kann mir jemand erklären wie man die Nullstellen bei einer ganzrationalen Funktion findet?

Aufgabe: f(x)=1/20(x^4-4x^3-18x^2+44x-23)

Identisch zu

https://www.mathelounge.de/563295/nullstellen-bei-ganzrationalen-funktionen

An den Administrator: bitte beide identischen Fragen zusammenfassen.

6 Antworten

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Beste Antwort

1/20 kannst du bei der Suche nach Nullstellen ignorieren. Der zweite Faktor (die Klammer muss 0 sein).

x=1 ist eine Nullstelle von f, die du raten kannst.

x^{4}-4x^{3}-18x^{2}+44x-23 = 0

1 - 4 - 18 + 44 - 23 = 0

Nun kannst du durch (x-1) teilen (Polynomdivision).

Du wirst feststellen, dass zufällig x=1 auch Nullstelle des Resultats ist. (x=1 ist also eine doppelte Nullstelle).

Teile nochmals durch (x-1).

Es bleibt ein quadratischer Term, bei dem du z.B. die pq- oder die abc-Formel verwenden kannst.

Avatar von 7,6 k
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1. Nullstelle raten x1=1, Polynomdivision durchführen = durch (x-1) teilen. Dann weitere Nullstelle durch Raten finden

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+(x4-4x3-18x2%2B44x-23)

Avatar von 81 k 🚀

Hallo Andreas,
ich will hoffen das mit dem heutigen Tag die
Hitzewelle / Hochsommer ein Ende findet.

Erst am Donnerstag solls Regen geben.

Der Sommer ist noch lange nicht vorbei. Die nächste Welle kommt bestimmt. Leider! :)

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In diesem Fall (leider) nur durch das Erraten der ersten Nullstellen. Bei solchen Aufgaben liegen Nullstellen oft bei einfachen Zahlen wie x=+-1, x=+-2, x=+-3 usw.

Es ist leicht zu erkennen, dass bei x=1 eine Nullstelle liegt. Damit wird das Polynom dividert (siehe Polynomdivison)

f(x) = (x-1)*(x^3 - 3x^2 - 21x + 23)

Bei dem Polynom dritten Grades x^3 - 3x^2 - 21x + 23 liegt bei x=1 wieder eine (zweifache) Nullstelle, also erneut dividiert

f(x) = (x-1)*(x-1)*(x^2 - 2x - 23)

Die Gleichung x^2 - 2x - 23 = 0 löst man dann mit der "Mitternachtsformel" und erhält so die restlichen Nullstellen

x1 = 1 - 2*wurzel(6)
x2 = 1 + 2*wurzel(6)

P.S.

Der Faktor 1/20 spielt bei der Betrachtung der Nullstellen keine Rolle, denn 1/20 * 0 = 0

Avatar von 3,4 k
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In der Praxis ist es am einfachsten
( ab Funktion 3.Grades )

Plotten lassen

gm-25.JPG
-3.8, 1, 5.8

Dann Newton-Verfahren mit den Startwerten -3.8 und 5.8.

In deinem Beispiel wäre es auch möglich:
Die 1 als Nullstelle erraten oder durch probieren finden.
Doppelte Nullstelle.
Durch Polynomdivision ergibt sich dann eine Funktion
2.Grades welche wie üblich ( z.B. pq-Formel )
gelöst werden kann.

Avatar von 122 k 🚀

In der (Schul-)Praxis kommt das Newtonverfahren so gut wie nicht vor und einfach in der Anwendung ist das auch nicht. Am einfachsten ist die Benutzung eines elektronischen Werkzeugs, das so etwas kann.

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Bekannt sind Lösungsverfahren für:

1. lineare Gleichungen,

2. quadratische Gleichungen (pq-Formel oder Mitternachtsformel),

3. kubische Gleichungen (Formel von Cardano),

4. biquadratische Gleichungen (Substitution x2=z).

Für alle anderen bleibt entweder das von Gast2016 geschilderte Verfahren oder ein Näherungsverfahren (Newton oder regula falsi).

Taschenrechner und Computer-Algebra (Wolframalpha) helfen da, wo gar nichts mehr geht.

Avatar von 123 k 🚀
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§1: Wenn ein Produkt 0 werden soll, ist ein konstanter Faktor irrelevant ("Satz vom Nullprodukt")

Aufgabe lautet also x^4-4x^3-18x^2+44x-23=0

§2: Da Lehrer ihren Schülern universelle Lösungswege bei Polynomen nur bis zum Grad 2 zumuten (p-q-Formel oder abc-Formel), werden höhere Grade nur Spezialaufgaben gestellt, die leicht zu erraten sind. Danach Polynomdivision, was zu (x - 1)² * (x² - 2*x - 23) = 0

führt.

Manchmal gibt es auch Spezialfall-Aufgaben, wo nur geradzahlige Potenzen vorkommen, die dann per Substitution lösbar sind (z=x² -> ergibt pq-Formel für die z-Gleichung)

a) Geschichtlich gesehen kam bei universellen Lösungswegen (frei von Spezialfällen) vor etwa 1000 Jahren die Bisektion.

(https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion )

b) Mindestens 500 Jahre ist https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren bekannt.

c) Mindestens 200 Jahre kennt man https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

(noch mit Fallunterscheidung & trigonometrischen Funktionen)

d) Etwa 100 Jahre kennt man die aus c) optimierten expliziten PQRSTUVW Formeln.

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet c) und d) vor:

Cardan.png

Avatar von 5,7 k

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