Injektivität bei Abbildung zeigen

Question

ich es geht um folgenden Sachverhalt.

$$ \text{Seien } X\text{ und } Y\text{ Mengen und }\varphi:X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung. Dann hat man eine injektive Abbildung }\\\iota:X\rightarrow X\times Y,x\mapsto (x,\varphi(x)). $$

Beweis.

$$ \text{Seien }x_1,x_2\in X.\text{ Dann ist die Implikation }\iota(x_1)=\iota(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\text{ zu zeigen.}\\\text{Es gilt }\iota(x_1)=\iota(x_2)\Rightarrow (x_1,\varphi(x_1))=(x_2,\varphi(x_2))\Leftrightarrow x_1=x_2, \varphi(x_1)=\varphi(x_2). $$

Ist man dann schon fertig, um die Injektivität bewiesen zu haben? Denn ich habe ja neben x_1=x_2 noch φ(x_1)=φ(x_2) zu stehen und φ ist halt irgendeine Abbildung, da ja hier nichts näheres zu gesagt wird.

Comments

EDIT: Es soll oben heißen. ,, es geht um... ''

Wurde aber nicht so übernommen, warum auch immer.

Answer 1

Hinter dem letzten <=> steht doch genauer      x1=x2 und  φ(x1)=φ(x2)

also gilt jedenfalls x1=x2  und wenn man die

Abbildung φ zweimal auf das gleiche Element anwendet, sind

auch die Ergebnisse gleich wegen der Eindeutigkeit jeder Abbildung.

Comments

Ja, das leuchtet ein, aber irgendwie beantwortet das nicht so wirklich meine Frage. Mein Problem ist, dass ich neben x_1=x_2 noch die Gleichheit φ(x_1)=φ(x_2) vorliegen habe.

Was soll ich damit jetzt anfangen???

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Du willst doch nur zeigen  x1=x2

Wenn herauskommt     x1=x2   und ……

Dann ist doch jedenfalls  x1=x2 wahr.

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Ok, das heißt also, dass meine Abbildung injektiv ist.

Ich finde das halt nur verwirrend, wenn da noch was ,,anderes'' mit dabei rauskommt.