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ich es geht um folgenden Sachverhalt.

$$ \text{Seien } X\text{ und } Y\text{ Mengen und }\varphi:X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung. Dann hat man eine injektive Abbildung }\\\iota:X\rightarrow X\times Y,x\mapsto (x,\varphi(x)). $$

Beweis.

$$ \text{Seien }x_1,x_2\in X.\text{ Dann ist die Implikation }\iota(x_1)=\iota(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\text{ zu zeigen.}\\\text{Es gilt }\iota(x_1)=\iota(x_2)\Rightarrow (x_1,\varphi(x_1))=(x_2,\varphi(x_2))\Leftrightarrow x_1=x_2, \varphi(x_1)=\varphi(x_2). $$

Ist man dann schon fertig, um die Injektivität bewiesen zu haben? Denn ich habe ja neben x_1=x_2 noch φ(x_1)=φ(x_2) zu stehen und φ ist halt irgendeine Abbildung, da ja hier nichts näheres zu gesagt wird.

Avatar von 14 k

EDIT: Es soll oben heißen. ,, es geht um... ''

Wurde aber nicht so übernommen, warum auch immer.

1 Antwort

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Hinter dem letzten <=> steht doch genauer      x1=x2 und  φ(x1)=φ(x2)

also gilt jedenfalls x1=x2  und wenn man die

Abbildung φ zweimal auf das gleiche Element anwendet, sind

auch die Ergebnisse gleich wegen der Eindeutigkeit jeder Abbildung.

Avatar von 287 k 🚀

Ja, das leuchtet ein, aber irgendwie beantwortet das nicht so wirklich meine Frage. Mein Problem ist, dass ich neben x_1=x_2 noch die Gleichheit φ(x_1)=φ(x_2) vorliegen habe.

Was soll ich damit jetzt anfangen???

Du willst doch nur zeigen  x1=x2

Wenn herauskommt     x1=x2   und ……

Dann ist doch jedenfalls  x1=x2 wahr.

Ok, das heißt also, dass meine Abbildung injektiv ist.

Ich finde das halt nur verwirrend, wenn da noch was ,,anderes'' mit dabei rauskommt.

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