Untergruppen Lineare Algebra

Question

a) Zeigen Sie, dass 2Z := {2z | z ∈ Z} eine Untergruppe von Z bezüglich der gewöhnlichen
Addition ganzer Zahlen ist.
b) Zeigen Sie, dass U := {2 hoch k 3 hoch l 7 hoch m | k, `, m ∈ Z} eine Untergruppe von R
× = R \ {0}
bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen ist.

 

Answer 1

Zeigen Sie, dass 2Z := {2z | z ∈ Z} eine Untergruppe von Z bezüglich der gewöhnlichen
Addition ganzer Zahlen ist.

Da 2Z offenbar eine Teilemenge von Z ist musst du nur zeigen

(s. https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#Äquivalente_Definitionen )

Für alle a,b ∈  2Z gilt   a + (-b)  ∈  2Z    (Hier ist ja die Addition die Verknüpfung.)

Seien also  a,b ∈  2Z .  ==>  Es gibt x,y  ∈  Z  mit   a=2x und b=2y

==>   a+(-b) = 2x + (-2y) = 2*(x-y) und mit   x,y  ∈  Z   ist auch x-y  ∈  Z  ,

also   2*(x-y) ∈ 2Z.  q.e.d.