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Liebe Community, wie zeigt man folgendes? 

Sei n > 1 und G = ℤ/nℤ. Zeigen Sie, wenn n ungerade ist, dann ist die Abbildung φ: G -> G, x ->2x ein Isomorphismus. 

Vielen Dank vorab!

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Titel: Isomorphismus - Gruppe - Abbildung

Stichworte: isomorphismus,abbildung

 

kann mir jemand sagen, wie ich folgendes beweisen kann? 

Sei n > 1 und G = ℤ/nℤ. Zeigen Sie, wenn n ungerade ist, dann ist die Abbildung φ: G -> G, x->2x ein Isomorphismus.

Vielen Dank vorab!

1 Antwort

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Wir haben hier für n>1 ungerade die Gruppe (Z/nZ,+) gegeben.

Sei ψ: G → G, x ↦2x (ich habe die Abbildung umbenannt, s.u.)

Wir müssen zeigen, dass ψ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.

1. Seien x,y ∈ Z/nZ dann ist

ψ(x+y)=2(x+y)=2x+2y=ψ(x)+ψ(y),

also ist ψ ein Homomorphismus.

2. Da n ungerade gilt ggT(2,n)=1, wir können also den Satz von Euler-Fermat anwenden und erhalten

$$ 2^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod (n)$$

Mit der Eulerschen φ-Funktion (deshalb die Umbenennung). Damit können wir aber ganz einfach eine Umkehrfunktion finden. Wir setzen

$$ \omega: G \to G, x \mapsto 2^{\varphi(n)-1} x $$

Dann gilt für \( x\in G\)

$$ (\psi \circ \omega) (x) = 2\cdot 2^{\varphi(n)-1}\cdot x=2^{\varphi(n)}\cdot x= x$$

$$ (\omega \circ \psi )(x) = 2^{\varphi(n)-1}\cdot 2\cdot x=2^{\varphi(n)}\cdot x= x $$

Die Funktion ist also insb. bijektiv.

Grüße

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