Für welche t hat das GS Ax=tx eine Lösung ungleich dem Nullvektor?

Question

A $\begin{pmatrix} 0 & 1/4 & 1/8 \\ 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix}$ ist die Matrix.

Im ersten Schritt sollte die Lösungsmenge von Ax bestimmt werden, wobei ich auch zu einer Lösung gekommen bin.

Nun ist die Frage für welche t∈ℝ das Gleichungssystem Ax=tx  eine Lösung mit x≠0 hat.

Wo soll ich da t einsetzen und damit rechnen?

Answer 1

$Ax=tx$ ist äquivalent zu $(A-tE_3)x=0$. Wenn die Gleichung eine nichttriviale Lösung für $x$ hat, dann ist die Matrix $A-tE_3$ singulär, d.h. $\det(A-tE_3)=0$. Berechne diese Determinante z.B. mit der Regel von Sarrus und erhalte $\det(A-tE_3)=-(t+\frac14)\cdot(t-\frac18)\cdot(t-1)$. Die gesuchten $t$ sind also $-\frac14,\frac18,1$.

Answer 2

Es geht um dieses Gleichungssystem:

0+x₂/4+x₃/8=tx₁

x₁/2+x₂/4+x₃/4=tx₂

x₁/2+x₂/2+5x₃/8=tx₃  

Comments

Egal, wie ich das versuche, komme ich auf keine Werte von t, mein Ergebnis war x₁=t, x₂=6*t, x₃=-4*t. Das kann doch nicht sein?

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Mein Ergebnis ist x₁=0, x₂=0, x₃=0.

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Gesucht sind aber Werte für t.  (Eigenwerte?)

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Habe in den Unterlagen nochmal nachgeschaut und da werden auch die Eigenwerte berechnet, allerdings waren die t da vorher schon in der Matrix, weshalb ich immer noch nicht weiß, wie ich damit rechnen soll?

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Spacko hat dir den Rechenweg vorgegeben.

Rechne in der Hauptdiagonalen überall "Minus t    " .