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Aufgabe: blob.pngDie Seiten eines gleichseitigen Dreiecks ABC werden jeweils über einen Eckpunkt hinaus verdoppelt, sodass die Punkte D, E und F entstehen. Zeige, dass das Dreieck DEF den siebenfachen Flächeninhalt des Dreiecks ABC hat.

von 49 k

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Beste Antwort

Hallo Roland,

Skizze2.png

auf Grund der Drehsymmetrie fallen die Schwerpunkte beider Dreiecke im Punkt \(S\) zusammen. Das Verhältnis der beiden Flächen der Dreiecke \(\triangle ABC\)  und \(\triangle DEF\) ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses zweier korrespondierender Strecken. Demnach ist $$\frac{F_{DEF}}{F_{ABC}} = \frac{|SD|^2}{|SC|^2}$$ Sei \(|AB|=|CA|=s\), dann ist $$|SC| = \frac23 \cdot \frac12s\sqrt{3} = \frac s3 \sqrt{3}$$ und nach Pythagoras ist (wg. Höhe und Seitenhalbierende) $$ |SD|^2= |DM_b|^2 - |SM_b|^2 =\left( \frac 32 s\right)^2 - \left( \frac13 \cdot \frac12s \sqrt 3\right)^2 \\ \quad = \left( \frac 94 + \frac1{12} \right) s^2 = \frac{7}{3} s^2$$ Einsetzen in die Gleichung mit den Verhältnissen: $$\frac{F_{DEF}}{F_{ABC}} = \frac {\frac{7}{3} s^2}{\frac 13 s^2} = 7$$


Noch 'ne Lösung

Untitled4.png  

Die Höhe \(|BD|\) des Dreiecks \(\triangle EAD\) ist genau zweimal so groß, wie die Höhe des Dreiecks \(\triangle ABC\). Seine Grundseite \(|EA|\) ist gleich lang zur Grundseite \(|AB|\) des Dreiecks \(\triangle ABC\). Folglich ist der Flächeninhalt von \(\triangle EAD\) doppelt so groß wie vom \(\triangle ABC\). Da das Dreieck \(\triangle DEF\) aus drei Dreiecken der Größe \(\triangle EAD\) und aus einem Dreieck \(\triangle ABC\) besteht, ist sein Flächeninhalt $$F_{DEF} = 3\cdot(2F_{ABC}) + F_{ABC} = 7 F_{ABC}$$

Gruß Werner

von 16 k

Sehr schöne Antworten! :)

Hier hatte ich einen ähnlichen Ansatz, bin aber nicht dazu gekommen ihn nieder zu schreiben. Bei den anderen hatte ich teilweise Knoten/fehlende Ansätze :/. Geometrie ist nicht so meins :P.


@Roland: schöne Fragen! :)

@Unknown: Danke, ich habe in meiner Antwort noch eine weitere einfachere Lösung hinzu gefügt. Es dauert immer ein wenig, bis man die einfachen Dinge sieht.

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