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kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?


Gegeben seien die folgenden vier Gruppen mit Parameter n ∈ ℕ:

• ⟨ℤn, +n
• ⟨Sn, ◦⟩ (symmetrische Gruppe)
• ⟨ß(ℤn), ∆⟩
• ⟨ℤn × ℤn, +\( \frac{2}{n} \) ⟩ (Produktgruppe)

Es werden 8 Gruppen definiert, einmal mit n = 3 und einmal mit n = 6. Welche dieser 8 Gruppen besitzen eine Untergruppe mit 5 Elementen, und welche nicht? Begründen Sie Ihre Aussagen. Geben Sie jeweils eine solche Untergruppe an, falls diese existiert.


Danke im Voraus.

von

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Beste Antwort

Hallo Niase, fangen wir mit der ersten Aufgabe an.
(ℤ3, +) = {[0], [1], [2]}
Eine Gruppe mit drei Elementen kann keine Untergruppe mit 5 Elementen haben.

So jetzt bist du dran.  Wie geht die nächste Teilaufgabe mit ℤ6?

von 2,7 k

Hallo Niase, noch keine Antwort von dir  Würde mich über eine Rückmeldung zu meiner Hilfe freuen, z. B. „verstehe kein Wort“ oder „alles klar, vielen Dank“.

Hallo RomanGa, ehrlich gesagt verstehe ich kein Wort, was aber glaube ich nicht an dir liegt, sondern einfach daran dass ich generell nicht so das Mathe-Genie bin.

Trotzdem vielen Dank für die Antwort

Hallo Niase, kein Problem.  Schön, dass du dich gemeldet hast.  Grob gesprochen, und mathematisch nicht  ganz exakt, ist ℤ3 eine Gruppe mit den Elementen 0, 1 und 2.  Und wenn man in dieser Gruppe Elemente addiert, z. B. 2 + 2, dann zieht man vom Ergebnis so lange 3 ab, bis wieder 0, 1 oder 2 rauskommt.  Also 2 + 2 = 4 = 1.  Ich schreibe vereinfachend (ℤ3, +) = {0, 1, 2}.  Wenn du möchtest, kannst du mir sagen, wie ℤ6 aussieht und was in dieser Gruppe 5 + 4 gibt.

Hallo RomanGa, vielen Dank für dieine Antwort.

3 müsste dann so aussehen: (ℤ3, +) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 5 + 4 wäre dann 9 - 6, also 3, richtig?

Und was soll nun überhaupt heißen, welche Gruppe eine Untergruppe mit 5 Elementen besitzt? Oder was ist erst einmal mit Untergruppe gemeint?

Ich bedanke mich für weitere Antworten.

Hallo Niase, das, was du hingeschrieben hast, ist ℤ6, nicht ℤ3.  Ansonsten alles korrekt.  Was eine Untergruppe ist?  Lies bitte die Definition von „Untergruppe“ in deinem Script oder in Wikipedia nach und sag es mir.  Bilde dann bitte eine Untergruppe von ℤ6.

Guten Abend RomanGa, in meinem Skript steht als Definition für Untergruppen: "Ist ⟨G,⊕⟩ eine Gruppe und H ≠ ∅ eine Teilmenge von G, so dass ⟨H,⊕⟩ auch eine Gruppe ist, so nennen wir ⟨H,⊕⟩ Untergruppe von ⟨G,⊕⟩, in Zeichen H ≤ G."

Ehrlich gesagt weiß ich nicht, was mir das sagen soll.

Und ja bei dem was ich zuvor hingeschrieben habe meinte ich ℤ6, habe mich nur verschrieben

Okay, dann machen wir ein Beispiel.  Für das folgende Beispiel ist es aber wichtig, zu wissen, was +6 ist.  4 +6 5 = (4 + 5) modulo 6 = 9 modulo 6 = 3.  Modulo 6 heißt, teilen durch 6 und sich für den Rest interessieren.  Was ist 3 +3 8?  Was ist 3 +6 8?

3 +3 8 wären dann 11 modulo 3 = 2

3 +6 8 sind 11 modulo 6 = 5, richtig?

Hallo Niase, ja, das ist richtig.  Jetzt betrachten wir die Gruppe (Z6, +6) mit Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.  Vielleicht ist ja (Z61, +6) eine Untergruppe, wenn Z61 = {0, 1, 2, 3, 4}.  Gemäß deiner oben aufgeschriebenen Definition ist dies eine Untergruppe von (Z6, +6), wenn (Z61, +6) eine Gruppe ist.  Bitte prüfe anhand der Definition von „Gruppe“, ob (Z61, +6) eine Gruppe ist.  Prüfe vor allem, ob für jedes a, b ∈ Z61 auch gilt:  a +6 b ∈ Z61

Also angenommen ich würde a = 3 und b = 4 nehmen, dann wäre 3 +6 4 =7 - 6 = 1, und 1 liegt immer noch in ℤ61 und da man durch das modulo immer auf Werte von 0-5 kommt, liegen diese immer in der Gruppe ℤ61. Habe ich damit schon bewiesen, dass es sich um eine Gruppe handelt oder ob dies eine Untergruppe ist?

Aber der Wert 5 liegt doch gar nicht in Z61.  Für welches a und b gibts ein Problem?

oh achso, dann für ein a und b, die zusammen 5 ergeben? Also zb. a = 4 und b = 1. Dann wäre das Ergebnis 5 aber 5 liegt nicht in ℤ61

Genau.  Z61 ist keine Untergruppe von Z6.  Jetzt prüfe mal Z62 = {0, 2, 4}.  Ist das eine Untergruppe von Z6?

Mit ℤ62 könnte man 0, 2, 4 und 6 bilden.. 0, 2, 4 wären dabei immer noch in der Gruppe und bei 6 würde man 6 modulo 6 = 0 rechnen, läge also auch in der Gruppe.

Also handelt es sich deswegen hierbei um eine Untergruppe von ℤ6?

Genau!  Man kann auch 8 bilden.  -  Es gibt noch eine weitere Untergruppe von Z6.  Welche?

Hmm geht auch einfach ℤ63 = {0,1} ?

Aber habe ich das richtig verstanden, dass zB ℤ64 = {0,1,3,5} nicht gehen würde, da man 4 bilden könnte und 4 nicht in ℤ64 enthalten ist, oder verstehe ich da was falsch?

Und gibt es eine bestimmte Methode wie man sich einfach alle Untergruppen aufschreiben kann?

{0, 1} geht nicht, denn 1 +6 1 = 2.  Und das liegt nicht in der Gruppe.  -  Nein, du hast das richtig verstanden.  -  Im Moment würde ich das mal mit Ausprobieren versuchen.  Du hast ja gesehen, dass wir mit der Zweierreihe erfolgreich waren.  Probiere doch mal die Dreierreihe.

Also ℤ63 = {0, 3}? Oder kommt da auch noch die 6 dazu?

Diese Frage geht an dich zurück.  Geht auch {0, 3, 6}?

Ja würde gehen, da man 0, 3, 6, 9 und 12 bilden könnte. Mit modulo 6 würde bei jedem 0 oder 3 rauskommen. Aber unser eigentliches ℤ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} beinhaltet ja keine 6, darf man die dann trotzdem mit reinnehmen?

({0, 3, 6}, +6) ist definitiv keine Untergruppe von ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, +6), weil die erste Menge keine Teilmenge der zweiten ist.

Zurück zur Originalaufgabe von ganz oben.  Gibt es eine 5-elementige Untergruppe von Z6?

Ich denke nicht. Z.B. ℤ61 = {0, 1, 2, 3, 4} würde nicht gehen da man damit 5 bilden könnte und dies nicht mehr in ℤ61 liegt.

Genau so ist es.  Alle anderen Teilmengen von {0, 1, 2, 3, 4, 5} gehen genauso wenig.  Damit ist diese Teilaufgabe gelöst.  EmNero hat auch eine schöne Lösung gepostet.  Ich weiß nur nicht, ob ihr den Satz von Lagrange hattet und benutzen dürft.

Den Satz von Lagrange hatten wie auch schon.

Ich bedanke mich für deine ausführliche Hilfe, gibt nicht viele die so viel Geduld haben :D

Ich denke die anderen Teilaufgaben müsste ich nun auch hinbekommen.

Mfg

Vielen Dank für die „beste Antwort“.  (EmNero hätte sie auch verdient.)  -  Bitte sehr, und jederzeit gerne wieder. 

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Diese Frage kann man mit dem Satz von Lagrange ganz einfach beantwortet werden.

Ist \(G\) eine Gruppe und \(H≤G\) eine Untergruppe. Dann gilt

$$ |G| = [G ~:~H] \cdot |H| $$

Die genaue Bedeutung dieser Gleichung ist für diese Aufgabe nicht relevant. Wichtig ist nur die Folgerung:

$$ |H| \text{ teilt } |G| $$

Also: die Anzahl der Elemente von H muss die Anzahl der Elemente von G teilen!

---

\(\mathbb{Z}_3\) hat \(3\) Elemente, da 5 kein Teiler von 3 ist, kann es keine Untergruppe mit 5 Elementen geben.

\(\mathbb{Z}_6\) hat \(6\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 6, also existiert keine Untergruppe mit 5 Elementen.

\(S_3\) hat \(3!=3\cdot2\cdot1=6\) Elemente. Hier gibt es also auch keine Untergruppe mit 5 Elementen.

\(S_6\) hat \(6!=720\) Elemente. 5 ist ein Teiler von 720. Hier musst du jetzt überprüfen ob es eine gibt.

\(\mathcal{P}(\mathbb{Z}_3)\) hat \(2^3=8\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 8, also keine Untergruppe mit 5 El.

\(\mathcal{P}(\mathbb{Z}_6)\) hat \(2^6=64\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 64.

\(\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3\) hat \(3\cdot3=9\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 9.

\(\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_6\) hat \(6\cdot6=36\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 36.

Also bleibt nur die Gruppe \(S_6\) zu überprüfen. Die restlichen Gruppen können keine Untergruppe mit 5 Elementen haben.

von 3,2 k

Vielen Dank für deine Antwort!

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