Bestimmen Sie im ℝ4 jeweils eine Basis u. Dimension von U ∩ W und U + W

Question

Bestimmen Sie im ℝ⁴ jeweils eine Basis und die Dimension von U ∩W und U + W, wobei :

U = h(1,2,0,1),(1,1,1,0) und

W = h(1,0,1,0),(1,3,0,1)

Answer 1

Für U+W schreibe alle 4 Vektoren in eine

Matrix und bringe sie auf Stufenform.

Das gibt rang=3 also dim (U+W)=3

Wenn du den letzten weglässt gibt es immer noch rang = 3,

also bilden die ersten beiden eine Basis von U+W.

Nach der Dimensionsformel ist ja

dim(U) + dim(W) = dim(U+W) + dim(U∩W)

also hier  dim(U∩W)=1.

Du musst also nur einen von 0 verschiedenen Vektor

aus dem Durchschnitt finden, und du hast eine Basis von U∩W.

Comments

Bestimmen Sie im R4 jeweils eine Basis und die Dimension von U ∩ W und U + W , wobei      U= (x1,x2,x3,x4)∈ℝ4       x 1 − x 2 + x 3    = 0
                                                      x1+  x2        −x4= 0    und
  W = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ ℝ4   x 1 + x 2 − 3 x 3          = 0
                                                      x 1 +        2 x 3    − x 4 = 0 .

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sollte eigentlich nicht bei Dir da oben  dim(U) + dim(W) = dim(U+W) - dim(U∩W)  statt  dim(U) + dim(W) = dim(U+W) + dim(U∩W) stehen,  also mius dim(U∩W)   ??

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sollte eigentlich nicht bei Dir da oben  dim(U) + dim(W) = dim(U+W) - dim(U∩W)  statt  dim(U) + dim(W) = dim(U+W) + dim(U∩W) stehen,  also mius dim(U∩W)  ??

Nein die Version von mathef ist korrekt. Die Dimensionsformel lautet:

dim(U+W) = dim(U)+dim(W) - dim(U∩W)

Bringe die Dimension des Schnitts durch Addition auf die andere Seite.

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hmm , ok danke !

Könnten Sie vielleicht bei den ersten teil helfen, komme damit Überhaut  nicht klar!

den hier :

Bestimmen Sie im R4 jeweils eine Basis und die Dimension von U ∩ W und U + W , wobei                          U= (x1,x2,x3,x4)∈ℝ4      x 1 − x 2 + x 3    = 0
                                                      x1+  x2        −x4= 0    und
    W = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ ℝ4  x 1 + x 2 − 3 x 3          = 0
                                                      x 1 +        2 x 3    − x 4 = 0 .

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Für U∩W schreibe alle 4 Gleichungen in

ein Gleichungssystem und bestimme die

Lösung.

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Ja und das ist eig das Problem, versuche die ganze Zeit und komme immer noch nicht weiter ! Also wenn man die Zeilenstufenform hat, wie ist es dann mit Dim und basis also wie kommt man auf die beiden ?

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Dann schreib doch mal die Stufenform hin.

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Martix siegt dann wie folgt aus :  also 1. Zeile 2-mal minus 4. und 2  sowie 2 minus 3 :

1  -1  1  0

1  1  0  -1

1  1  -3  0
1  0  2  -1

es kommt dann :

1  -1  1  0
0  -2  1  1     
0  0  -3  -1
0  0  0  -2

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Und die Anzahl der "Stufen" ist 4, also gibt es für das

homogene Gl-System nur die triviale Lösung 0.

Das ist das einzige Element in U ∩ W

hat also dim = 0 und eine Basis ist die leere Menge.

 U + W  hat dann nach der Dimensionsformel

die Dimension 4 und es ist U + W = R^4 ,

also ist jede Basis von R^4 auch eine von

U + W .    Z.B. aus die, die aus den 4

erzeugenden Vektoren besteht.