Man zeige mit Hilfe des Majorantenkriteriums...

Question

Sei (a_n) eine reelle Zahlenfolge mit a_n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ.
a) Man zeige mit Hilfe des Majorantenkriteriums

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) konvergent ⇔ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{1+a_n}} \)  konvergent

b) Gilt auch

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) konvergent ⇔ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{1+a_n^2}} \) konvergent?

Answer 1

a) Eigentlich ist das nicht schwer. Du sollst eine Majorante finden die konvergiert. Du kannst also den Zähler größer machen oder den Nenner kleiner machen.

an/(1 + an) <= an/(1 + 0 für an >= 0)

b) Hier solltest du im Zweifel ähnlich vorgehen.

Schreibst du jetzt mal die Lösung alleine auf? Wir kontrollieren dann auch gerne.