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Aufgabe: 

Sei q ≥ -1 eine reelle Zahl. Für alle n € N gilt:   \(  (1+q)^n ≥ 1+ nq  \)


Problem:

Ich versuche der Rechnung einer Vorlesefolie zu folgen:


Indunktionsanfang: (für n = 1)

\( (1 + q)^1 = 1 + q = 1 +  nq = 1 + 1 * q \)  // beide Seiten sind gleich für n = 1


Induktionsschritt:
(Zeilenangabe dienen hier als Orientierung)

(1. Zeile) Es gelte die Induktionsannahme \( (1+q)^n ≥ 1+ nq \)

(2. Zeile) und damit wird gezeigt, dass \( (1+q)^{n+1} ≥ 1+ (n+1) q \)

(3. Zeile) Tatsächlich gilt: \( (1+q)^{n+1} = (1+q)^n * (n+1) ≥ (1 + nq) * (1 + q) \)

(4. Zeile)                                             \(  =  1+nq+q + ng^2   ≥   1+nq+q   =   1 + (n+1)q \)


Unklar wird's für mich ab Zeile 3, nach dem ≥ ...

der erste Faktor stammt denke ich aus der Annahme: \( (1 + nq)\)
ich kann nicht erkennen wo der 2. Faktor herkommt: \( (1 + q) \)

Zeile 4...

Auf diese Zeile versuche ich durch Ausmultiplizieren zu kommen, aber das ist scheinbar nicht die richtige Vorgehensweise.
Zum Kontrollieren: 
Wenn ich Zeile 3 die rechte Seite des \(=\)-Zeichens ausmultipliziere, erhalte ich:
                                         \( 1+ng+nq+nq^2   ≥   1+q+nq+nq^2 \)


Wie komm ich auf die 3. & 4. Zeile? 
Welche Schritte wurden auf der Folie verschluckt?


Danke für Hilfe.

von

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

Wie komm ich auf die 3. & 4. Zeile?  

Die 3.Zeile soll wohl

(1+q)n+1  =Potenzgesetz   (1+q)n * (1+q)   ≥IA   (1 + nq) * (1+q)       lauten.

In der 4. Zeile kann man  nach  ≥  den positiven  Summanden nq2 weglassen, weil dadurch der Term davor verkleinert wird.

Gruß Wolfgang  

von 82 k

Wo ist in der 4. Zeile hinter dem \(≥\)-Zeichen ein \(ng^2\)?:  
(4. Zeile):  = 1+nq+q+ng^2 1 + nq + q = 1 + (n + 1) q

Oder meinst Du das \(ng^2\) links vom - Zeichen?

Das g muss ein q sein.

Wo ist in der 4. Zeile hinter dem ≥-Zeichen ein n2?: 
(4. Zeile):  = 1+nq+q+ng^2 ≥ 1 + nq + q + weg = 1 + (n + 1) q

Nirgends,

.... kann man nach  ≥  den positiven  Summanden nq2 weglassen ...

weil man nq2 weglassen konnte!

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IA) n= 0 (wenn bei euch 0 ∈ ℕ, ansonsten wie bei dir)

(1+q)  ≥ 1+0*q

1 ≥ 1 w.A.

zz) (1+q)n+1   ≥1+(n+1)*q

IS) (1+q)n *(1+q)1  ≥ 1+nq+q  (Schritt 3 Exponenten aufspalten)

=(IV) (1+nq)*(1+q) ≥ 1+nq+q (Induktionsvoraussetzung in linke Seite einsetzen, sollte gehen da ≥  gilt)

=1+q+nq+nq² ≥ 1+nq+q

=nq²≥0  w. A. da q² und n ∈ ℕ

von
 (1 + q)n  * (+ 1)      (Tippfehler) 
....
 (1 + q)n  * (1 + q)1 

Das war doch wohl die eigentliche erste Frage .

----

IA) n= 0 (wenn bei euch 0 ∈ ℕ, ansonsten wie bei dir)

Warum sollte das so sein, wenn in der Vorlesungsfolie

Indunktionsanfang: (für n = 1)

steht?

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