Approximation durch eine Parabel/ Maximalabweichung (e- Funktionen)

Question

Aufgabe:

Wie groß ist die Maximalabweichung für 0 kleiner/gleich 0 ist kleiner gleich 1 näherungsweise?  Zuvor sollte für den Graphen f(x)=xe^(1-x)eine Parabel durch die Punkte N(0|0) , H(1|1) und (2|0) approximiert werden

Problem/Ansatz:

Parabel  g(x)= -x^2  +2x

Differenzfunktion

d(x)= xe^1-x  +x^2  -2x

Ableitung

d‘(x)= (1-x)e^(1-x) +2x -2

0= d‘(x)

(1-x)e^(1-x)= -2x+2

e^1-x = (-2x+2)/(1-x)

Hierbei handelt es sich um eine Beispielaufgabe im Buch, um den Rechenweg zu verdeutlichen.

Der nächste Schritt ist : e^(1-x) = 2

Ich weiß wie man ausgehend davon nach x auflöst, aber wie kommt man auf

(-2x+2)/ (1-x) =2 ?

Mein Ansatz wäre mit dem Kehrwert zu multiplizieren sodass dann eventuell alles bis auf die 2 wegfällt

Also (-2x+2)•(1-x^-1)

Ist das richtig?

Answer 1

aber wie kommt man auf

(-2x+2)/ (1-x) =2 ?

(1-x)e^(1-x)= -2x+2   | : ( 1-x)

e^(1-x)=( -2x+2 ) / (1-x)  im Zähler 2 ausklammern

e^(1-x)=2 *( -x+1 ) /  (1-x)

und   ( -x+1 ) /  (1-x) = 1 also

e^(1-x)=2    Bingo !

Answer 2

Die Maximalabweichung von f(x)=x·e^1-x und g(x)= -x² +2x für 0<x<1 liegt bei x=1- ln(2).