Differenzengleichung. Laut Modell werden nicht mehr als 30000dm2 durch die Pflanzenkultur belegt sein?

Question

Wie kann es sein dass das stimmt?

Eine Pflanzenkultur vermehrt sich. Für die von den Pflanzkultur belegte Fläche y_n nach n Wochen gilt: y_n+1=0.99y_n+300, y₀=1

Aussage: Laut diesem Modell werden nicht mehr als 30000dm² durch die Pflanzenkultur belegt sein?

Warum stimmt das?

Comments

Setze doch mal yn=30000 ein.

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$\lim\limits_{n \to \infty}\left( 30000-29999\cdot 0.99^n\right) = 30000$

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y_n+1=0.99y_n+300 y₀=1 bedeutet y_n+1 ist für alle n gleich 1, also ist auch y_n=1. Dann ist 0.99+300 y₀=1 und y₀=0,01/300=1/30000

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@Roland: Warum das denn?

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Wenn $y_0 = 1$ gilt, folgt doch $y_1 = 300.99$ oder? Und wieso soll $y_0 = \frac{1}{30000}$ sein, wenn doch $y_0 = 1$ gelten soll?

Answer 1

Mach den üblichen Ansatz

$$y_n = \lambda^n$$ für die homogene Differenzengleichung (ähnlich wie bei den Dgl.) dann folgt $$\lambda^{n+1} = 0.99 \lambda^n$$ also $$\lambda = 0.99$$

Die allg. homogene Lösung sieht dann so aus $$y_n = C \cdot 0.99^n$$ Für eine partikuläre Lösung mache den Ansatz $$y_n = K$$ Dann folgt $$K = 0.99 K +300$$ also $$K = 30000$$ Insgesamt hast Du also als Lösung

$$y_n = C \cdot 0.99^n +30000$$ Aus $$y_0 = 1$$ folgt $$C = -29999$$

Damit hast Du als allg. Lösung

$$y_n = -29999 \cdot 0.99^n + 30000$$ Da $$0.99^n \to 0 \text{ für } n \to \infty$$ gilt, ist die obere Grenze 30000, wie gefordert.